Matematická analýza pro informatiky I (2015/16)

Cvičení k přednášce Matematická analýza  I (NMAI054, paralelka 15aNMAI054×20)         

(přednáší    doc. Mgr. Robert Šámal, Ph.D. ) 

                                                

Konzultační hodiny:   Čtvrtek 9:30-10:30 v T5 (před cvičením) a pak je možné pokračovat v konzultacích i po cvičení (v T5 je volno do 14:00), nebo po dohodě ( osobně, e-mailem, telefonem).

Příklady, probírané na cvičeních:

• Cvičení 1.  (8.10.2015)  Opakování  středoškolské matematiky - výrokový počet, množinový počet, absolutní hodnota (a vzdálenost) v R, reálné funkce a jejich vlastnosti,  řešení rovnic a nerovnic. 
   "jednoduché" důkazy, matematická indukce.
  Domácí úkol 1. ( pdf ) - zatím stačí přinést na cvičení 15.10., nebo, chcete-li, do úterního večera úkol můžete dát do krabice na chodbě KAM ve druhém patře (vedle sekretariátu KAM).
• Cvičení 2. (15.10.2015) : Ještě opakování  -  řešení rovnic a nerovnic; množinový počet; absolutní hodnota (a vzdálenost) v R,  reálné funkce a jejich vlastnosti; jednoduché důkazy, matematická indukce -  ( příklady ze cvičení 1 a další příklady zde).
  Supremum a infimum množiny v R - příklady zde ( pdf ).
  Domácí úkol 2. ( pdf )
• Cvičení 3.  (22.10.2015)   Ještě opakování - řešení nerovnic, absolutní hodnota, důkaz matematickou indukcí.
  Ještě suprema a infima ( příklady z minulého cvičení); spočetné množiny - nějaké příklady zde ( pdf );  posloupnosti - definice a vlastnosti ( posloupnost omezená, monotonní, rekurentně zadaná); limita posloupnosti - opakování definice a  důkazy limity  dle definice - viz  limita posloupnosti - příklady 1   ( pdf ) 
  Domácí úkol - ještě dořešit  Domácí úkol 2 a dobrovolně ( nebo k rozmyšlení)   Domácí úkol 3. ( pdf ) . 
• Cvičení 4.  (29.10.2015) - plán:  Ještě opakování - řešení nerovnic, absolutní hodnota, důkaz matematickou indukcí a problémy z domácích úkolů. Spočetné množiny, těleso reálných čísel - příklady z minulých cvičení. Posloupnosti - posloupnost omezená, monotonní, rekurentně zadaná. A hlavně - limita posloupnosti : další důkazy limit z definice, definice nevlastní limity posloupnosti,  problémky, výpočet limit  užitím  aritmetiky limit a věty o limitě  sevřené posloupnosti -  příklady z minulého cvičení ( limita posloupnosti - příklady 1   ( pdf ) ) .
  Domácí úkol 4.   ( pdf ) . 
  Kolega Pavel Obdržálek všem nabízí "matematický tahák", který je ke stažení zde . 
• Cvičení 5. (5.11.2015) :  Problémy z domácích úkolů;   limita posloupnosti - důkazy několika tvrzení o limitách,  výpočet limit (užití aritmetiky limit, limita sevřené posloupnosti),  příklady z minulého cvičení ( limita posloupnosti - příklady 1   ( pdf ) ), a další příklady limita posloupnosti - příklady 2.  ( pdf ) .
  Domácí úkol 5. - Omlouvám se, ale úkol jsem nestačila zadat včas, tak si, prosím, místo úkolu projděte  příklady a problémy, zadané pro cvičení 5., a připravte si, prosím, na co byste se potřebovali na příštím cvičení zeptat.
• Cvičení 6. (12.11.2015) :  limita posloupnosti - výpočet limit (užití aritmetiky limit, limita sevřené posloupnosti), limita monotonní posloupnosti, limita posloupnosti rekurentně zadané, příklady z minulého cvičení . 
  Domácí úkol 6. ( pdf ) .   
• Cvičení 7. (19.11.2015) :  Limita posloupnosti - příklady z domácího úkolu 6.,   limita monotonní posloupnosti, užití limity vybrané posloupnosti,  limita posloupnosti rekurentně zadané ( příklady viz cv.5..
  Domácí úkol 7. ( pdf ) .
• Cvičení 8. (26.11.2015) :  Limita posloupnosti - příklady z du 7. Nekonečné řady  - konvergence, resp. divergence řady, vyšetřování konvergence řad (nutná podmínka konvergence řady, řady s nezápornými členy- "tahákové" řady ,  srovnávací kriterium  , limitní odmocninové kriterium a limitní  podílové kriterium).
  Příklady (i pro následující cvičení):  nekonečné řady - příklady . 
  Ještě pomůcka :   nekonečné řady - cvičení - cvičení se řešenými příklady. 
  Domácí úkol 8.   ( pdf ) ( vzhledem k opožděnému zadání , za což se omlouvám, můžete příklady jen promyslet jako přípravu na další cvičení, nebo, sepsané, přinést až ve čtvrtek na cvičení).
• Cvičení 9. (3.12.2015):   Vyšetřování konvergence nekonečných řad - i limitní srovnávací kriterium, dále Leibnizovo kriterium pro alternující řady, absolutní konvergence řady.  
  Příklady - nekonečné řady a limita funkce. ( pdf ) . (limita funkce pro příští cvičení) .
  Domácí úkol 9  ( pdf )  a navíc   "Domácí"  test 1.  (pdf)  - limita posloupnosti a  vyšetřování konvergence řad. ( Pokuste se test  vyřešit do příštího cvičení, nejdéle pak do čtrnácti dnů).
  
• Cvičení 10. (10.12.2015):   Ještě vyšetřování absolutní a neabsolutní konvergence řad - příklady z domácího úkolu; užití kondenzačního kriteria; funkce - úvod, limity ve vlastním bodě.
  Příklady pro příští cvičení :  limita, spojitost, derivace funkce ( pdf ).
  Domácí úkol 10 ( pdf )  a chcete-li, zde je druhá ukázka " zápočtových" příkladů z limit posloupností a řad  -  "Domácí" test 2. ( pdf ) (některé z příkladů už byly v domácích úkolech).
• Cvičení 11. (17.12.15):  Shrnutí  "návodů" k výpočtu llimit posloupností a k vyšetřování konvergence řad  ( poznámky k domácím úkolům); pak  limity funkcí  - trošku obtížnější příklad z minulých zkoušek (dotaz) , takže jsme začali limity, dalo by se říci, "od konce". Ale doufám, že se tak vyjasnilo, co s limitami máme dělat, jak použít aritmetiku limit, jak limitit složené funkce a také, jak je dobré znát "tahákové" limity  (viz přednáška) a jak je objevit a použít, jsou-li "schovány" v nějakém poněkud  složitějším výrazu.
  K promyšlení na příští cvičení  Domácí úkol 11.  ( pdf )  a  můžete se podívat na  Domácí test 3 ( pdf )   ( je zde to, co bychom měli ještě zvládnout z diferenciálního počtu)  a  ještě
  ukázka zápočtového testu ( pdf )
• Cvičení 12. (7.1.2016) -  Limity funkcí, spojitost funkcí, počítaní derivací funkce, užití derivace. Další příklady: derivace a užití derivace  ( pdf )
  Domácí úkol 12  ( pdf )  (příklady k promyšlení)

  

"Pomocné" materiály:

• nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
• limita a spojitost funkce - cvičení se řešenými příklady
• průběhy funkcí - několik řešených příkladů

 

Mnoho dalších příkladů můžete také najít

• u doc. M. Lopatkové (UFAL)
  
• ve sbírce KAM
• ve cvičeních dr. Roberta Šámala (IUUK)
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)

Z literatury, doporučené v SISu:

• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 -  tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
  
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde