Matematická analýza pro informatiky I (LS 2019/20)

Cvičení k přednášce Matematická analýza  I (NMAI054, paralelka 19bNMAI054×01)              

(přednáší  Mgr. Tereza Klimošová, Ph.D.)

Konzultační hodiny:  Konzultace buď vždy ve čtvrtek před cvičením 8:00 - 9:00 v S7, nebo po dohodě (osobně, e-mailem, telefonem) , studenti Bioinformatiky mohou konzultovat  (po dohodě) v pracovně 209, 2.poschodí v budově děkanátu Přírovědecké fakulty Albertov 6 -zatím neplatí (snad dočasně).
Po dobu přerušení výuky na MFF i na PřF můžeme konzultovat po dohodě na MFF, na PřF je vstup studentům do budov PřF zakázán. Také můžete i napsat, jaké problémy se Vám v analýze objevili a můžeme je řešit i písemně (jako zatím cvičení).

 

"Pomocné" materiály:

• nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
• limita a spojitost funkce - cvičení se řešenými příklady
• průběhy funkcí - několik řešených příkladů
  
  

Z literatury, doporučené v SISu:

• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 -  tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
  
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde

Mnoho dalších příkladů můžete také najít

• u doc. M. Lopatkové (UFAL)
  
• ve sbírce KAM
• ve cvičeních dr. Roberta Šámala (IUUK)
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)

 

Příklady, probírané na cvičeních:

• Cvičení 1.  (20.2.2020): O tom, čím se zabývá matematická analýza a také trošku opakování středoškolské matematiky - výrokový počet, absolutní hodnota (a vzdálenost) v R.
  Příklady k opakování (i pro další cvičení): Cvičení 1. ( pdf )
  Hezké čtení (i o matematické analýze):   
                          Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
                         John D. Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)
                         John D. Barrow: Kniha o nekonečnu (Stručný průvodce světem bez hranic. počátku a konce) (Nakladatelství Paseka, 2007) 
                         Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
  Domácí úkol:  Domácí úkol 1. ( pdf ) - zatím spíše jako příprava na cvičení  - stačí promyslet nebo přinést na cvičení 27.2., chcete-li, abych váš dú opravila.
• Cvičení 2. (27.2.2020):  Ještě opakování  - problémky z domácího úkolu;  řešení rovnic a nerovnic; množinový počet; reálné funkce a jejich vlastnosti; jednoduché důkazy, matematická indukce -  ( příklady ze cvičení 1 a případně z domácího úkolu). Dále dle přednášky 20.2. (paralelka dr. Klimošové): spočetnost, resp. nespočetnost množin v R, supremum a infimum množiny v R, posloupnosti reálných čísel a jejich vlastnosti - příklady: Cvičení 2  ( pdf ) ;
  Domácí úkol:  Domácí úkol 2.  ( pdf )  - omluvte, prosím, chybu v zadání  v úvodu příkladu 2 (definice f(M) ).
• Cvičení 3. (5.3.2020): Posloupnosti reálných čísel a jejich vlastnosti, opakování definice vlastní i nevlastní limity posloupnosti, důkazy limit z definice, věty o limitě sevřené posloupnosti - příklady:  Cvičení 3,4  ( pdf )
  Domácí úkol:   Domácí úkol 3. ( pdf )  a  slíbené (moje) řešení :  Dú 3 - řešení   Můžete si vaše domácí úkoly tak sami zkontrolovat, opravit a případně opravit i moje chyby v řešení (a ty mi, prosím, laskavě ohlašte),
• Cvičení 4. (12.3.2020) - náhradní písemná verze:   cvičení 4. - první část , a zde dodatek - cvičení 4. - 2.část   A  přišla otázka - tak trošku podrobněji  návod k příkladu 3 .
  Pokusila jsem se cvičení "zapsat " tak, jak by mohlo cvičení možná probíhat, pokud bychom mohli mít výuku spolu jako jindy. A moc omlouvám se za zpoždění. Pokud byste potřebovali ještě probrat a vyjasnit něco ze cvičeních minulých, tak, prosím, napište mi, zase bych to, co by bylo třeba, sepsala. Další příklady najdete pak v příkladech z minulého cvičení   Cvičení 3,4  ( pdf ).
  a  ve čtvrtém domácím úkolu, který je spíše zdrojem  problémů a příkladů k "domácímu" cvičení, stačí, když odevzdáte jen řešení několika příkladů početních.Také jsem slíbila zveřejnit řešení domácích úkolů, pokusím se zatím dát  ke čtení řešení  1.a 2. úkolu, se třetím  ještě počkám do čtvrtka, kdy by měl být úkol odevzdán. Domácí úkol 4. má zpoždění (zadán až 15.3.),  tak můžete mít zpoždění s odevzdáním i vy.
  Domácí úkol:  Domácí úkol 4. ( pdf )  - a  řešení dú 4 , můžete použít ke kontrole vašeho řešení a případně k prostudování toho, co jste neřešili.  A omlouvám se, hned na začátku mého domácího úkolu jsem se "přepsala" -  má být: Opět neplatí , jako v řešení 3.dú, že mé řešení je jediné možné.
• Cvičení 5. (opět bude "písemné" místo cvičení 19.3.2020) : zatím dle "přednášek" v minulém týdnu jsem připravila soubor příkladů k opakování elementátních funkcí - je dobré si udělat (nejlépe v mysli, ale třeba i papírový) "tahák elementárních funkcí" - myslím tím zatím "mít přehled" o vlastnostech těchto funkcí (tj. definiční odbor, lichost, sudost, periodicita funkce, spojitost, zda je funkce monotonní a v jakých intervalech, existence inverzní funkce), a mít také přehled o limitách těchto funkcí v krajních bodech intervalů z definičního oboru (to pomůže i v tom, abyste  dovedli jednotlivé "druhy" limit  i "vidět"  - bude užitečné při t.zv. vyšetřování průběhu funkce) - něco dokážete na přednáškách, něco na cvičení a něco asi stačí  intuitivně i bez důkazů, uvidíme. Třeba by se hodil tento "tahák" http://dagles.klenot.cz/rihova/elfunkce.pdf  , nebo i https://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/25_MI_KAPI_1_5.pdf, pokud máte nějaký lepší "přehled" těch základních funkcí, tak to sem můžeme dáti.
  A zde jsou příklady k opakování  vlastností funkcí a úvodní problémky z limit funkcí :   Cvičení 5   ( pdf ) . 
  A zde je písemná verze cvičení : "písemné" cvičení 5 - promiňte, prosím, zpoždění.
  A navíc si už můžete s limitami  trošku pohrát a zkusit limity i počítat užitím aritmetiky limit (za pomoci "taháku limit" elementárních funkcí a někerých dalších důležitých a užitečných limit - bude uvedeno v zadání), věty i limitě složené funkce a samozřejmě i s učitím "strážníků" . Také je užitečné umět ukázat, že funkce v daném bodě limitu nemá (často pomůže, že funkce má v tomto bodě různé jednostranné limity, nebo  pomáhá i Heineho věta). Další příklady (i pro příští týden) - výpočet limit funkcí a spojitost funkce:   Cvičení 6  ( pdf ) 
  A ještě jeden návrh - pokud byste někdo z vás  vypracoval "písemný referát", např. řešení nějakého problémku s (*) nebo cokoliv jiného zajímavého  (když teď nemohou být referátky na cvičeních), tak, pokud mi to pošlete a dovolíte, mohu i vaši práci dát na "dub", aby si to mohli vaši spolužáci též přečíst a poučit se. Ale asi si píšete a komunikujete lépe (jako informatici).
  Domácí úkol:  Domácí úkol 5. ( pdf )  (omlouvám se chybu v zadání příkladu 6b), už je opravena ( a děkuji slečně Roztočilové za upozornění). A zde je je "moje"  řešení dú 5  (pro vaší kontrolu).
• Cvičení 6. (opět "písemné" místo cvičení 25.3.2020) :  Limita a spojitost funkce .
  Příklady ke cvičení jsou už v minulém cvičení  - Cvičení 6  ( pdf ) .
  A zde je písemná verze  cvičení:  "písemné" cvičení 6.  a zde je "písemné" cvičení 6 - 2.část . 
  Zpoždění "písemných" cvičení snad konverguje k nule, byla bych ráda, abyste další cvičení měli už nejpozději příští středu. 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 6.  ( pdf )  a  "moje"  řešení  dú 6   
• Cvičení 7  ("písemné" místo cvičení 2.4.2020):  Spojitost funkce - ještě další příklady i problémky; a dále  derivace funkce - a) pro procvičení definice derivace příklady odvození derivací některých základních funkcí a vzorců pro výpočet derivací; výpočet derivací pomocí vzorců. a i v bodech, kde vzorce "nefungjí".
  Příklady ke cvičení : Cvičení 7 - příklady  ( pdf ) .
  A zde je písemná verze  cvičení:  "písemné" cvičení 7  -  První část příkladů - spojitost funce jedné proměnné necháme pro domácí přemýšlení,  v písemném cvičení je procvičena definice derivace a výpočet derivací. 
  A tady je tabulka derivací  (obory, kde derivace existují, si raději do tabulky doplňte).
  A ještě poznámka k zadání příkladů - v přednášce 6. byly i poznámky o limitě a spojitosti, obecně, v metrických prostorech. A tak jsem pro vás připravila i několik příkladů "o" limitách a spojitosti reálných funkcí dvou proměnných, což je asi nejjednoušší zobecnění funkcí jedné proměnné, které teď cvičíme. Zatím jsem řešení těchto příkladů do dnešního "písemného" cvičení nedala, budete-li si to přát, udělám to jako dodatek dnešního cvičení.
  A  jedna prosba: napište mi, prosím, jak "jste na tom" s výpočtem derivací. Nevím, jak jste kdo derivoval už dříve ve škole, a tak nevím, jak moc "podrobně" mám derivace vysvětlovat. Ale doufám, že ti z vás, co stále derivují "plynně", ty jednoduché příklady přeskočí a budou opakovat počítání derivací na příkladech těžších.
  A navíc - pokud byste se chtěli podívat na jednodušší a "lidově" podaný výklad toho, co teď v analýze  probíráte, můžete se podívat na přednášky z Matematiky A1 na PřF (jedna z "větví na dubu" http://matematika.nadubu.cz/index.php?id=33  ). Zde začínáme hned s funkcemi, chemici a ostatní účastníci až tak moc nepotřebují posloupnosti a řady (to je jen jako poznámka na konci probírání limit). A přednáška je skoro bez důkazů, ale musím se snažit o vysvětlení daných pojmů a vět, tak  by to mohlo být občas užitečné třeba i pro vás. Přednášky jsou napsané jen rukou, tak, jako teď vaše cvičení, pro jednoho studenta, co nevidí dobře, tak jsem přednášky psala pro něho, aby to, co se  probírá, mohl při přednášce sledovat ve svém tabletu. Ale pak jsem je dala na přání studentů i na "dub", tak přednášky jsou pro všechny. 
  A zde je písemný příspěvek ke cvičení od vašeho kolegy Tomáše Sourady, první z "referátků" místo těch,  které by bývaly byly, věřím, na cvičeních za normální situace: 
  Důkaz hustoty racionálních čísel.  
  Domácí úkol:  Domácí úkol 7.   ( pdf )  a "moje"   řešení dú 7  zase spíše "polocvičení" (a omlouvám se za "nedopsané zadání příkladu 3a) z derivací, a prosím, pokud najdete chyby, napište).
• Cvičení 8 ("písemné" místo cvičení 9.4.2020):  Užití derivace - výpočet limit užitím L´Hospitalova pravidla; "dopočítávání" derivace ve "špatných " bodech (tj. kde nejde použít  "vzorce" na výpočet derivace),  vyšetření průběhu funkce (i takových, které nemají derivace v nějakém bodě), vyšetřování extrémů funkce.
  Příklady ke cvičení:  cvičení 8 - příklady  ( pdf ) .
  A písemná verze cvičení:   "písemné" cvičení 8 - 1.část   , písemné cvičení - 2.část 
  a dále zde jsou  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí - několik řešených příkladů. A možná, že si přečtete rádi i několik řešených úloh - extrémy funkcí . Omlouvám se, je to pro přírodovědce, tak je tam i úloha z chemie, ale snad to nevadí (nemusíte to číst).  A stále platí, pokud najdete někde chybu, prosím, napište mi to.
  A možná by Vám mohly pomoci v pochopení derivace a užití derivace i zápisy přednášek na PřF (jak už jsem psala), jsou trošku v "jiném jazyce", ale obsahují dost příkladů, mohlo by to naše "cvičení" třeba i doplnit (odkaz na Matematiku A1 na "dubu" je ve cvičení 7, a zde jsou ty přednášky: 23.10. ,  4.11.,    6.11.,   11.11.  ,   13.11. . 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 8.    ( pdf )   a "moje"   řešení dú 8    (možná je řešení někdy příliš podrobně vysvětlováno, ale třeba je to občas i užitečné) .
  Domácí úkoly (i ty  minulé) se budou "počítat", i když se trošku opozdíte oproti domluveným 14 dnům po cvičení, vím, že ani vy studenti to teď nemáte snadné. Důležité je i analýzu studovat a  "cvičit".
• Cvičení 9 ("písemné" místo cvičení 16.4.2020):  Užití derivace funkce (důkazy nerovností, výpočet limit s užitím věty o střední hodnotě), Taylorův polynom funkce a jeho užití při aproximaci hodnot funkce a i při výpočtu limit.
  Příklady ke cvičení: cvičení 9 - příklady  ( pdf )
  Písemná verze cvičení:   "písemné" cvičení 9  . 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 9.    ( pdf )  (omlouvám se za chybu v zadání) a "moje" řešení  dú 9
• Cvičení 10 ("písemné místo 30.4.2020):  Primitivní funkce (výpočet neurčitých integrálů) - zatím jednoduché příklady": užití "tabulky" primitivních funkcí, věty o substituci a integrace "per partes".
  A pokud se hodí, zde je "tahák" - neurčitý integrál  (z minulých let) .
  Příklady ke cvičení:  cvičení 10, 11 - příklady integrál 1  ( pdf ) 
  A písemná verze cvičení:   "písemné" cvičení 10  . a opravená stránka 16 (integrace per pares)
  Domácí úkol:  Domácí úkol 10.   ( pdf ) a  "moje"  řešení dú 10 
• Cvičení 11 ("písemné" místo cvičení 7.5.2020):  Výpočet neurčitých integrálů - užití "opačné" substituce, kombinace substituce a integarce per partes u výpočtu něketrých integrálů, integrace racionálních funkcí a jednoduché příklady substitucí, které vedou na integraci funkce racionální.
  Příklady ke cvičení:   cvičení 10,11 - příklady integrál 2  ( pdf )   cvičení 11 - příklady integrál 3  ( pdf )
  A písemná verze cvičení:  "písemné" cvičení 11 - úvod  a dále řešené příklady (s výkladem) z přednášek pro MA1:  20.11.,  25.11. , 2.12. ,  4.12.  .
                                             Další  příklady řešené 1.část:   a   příklady řešené 2.část    (a prosím, najdete-li chyby, napište a chyba byla nalezena a zde opravená stránka 9 - př.4 ) . 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 11-1 .  ( pdf )  a  "moje"  řešení dú 11-1 a ještě  Domácí test umění integrovat 1.  ( pdf )  a "moje"   řešení dú 11-2  (bude "počítán" zvlášť jako další dú 11-2) .
• Cvičení 12 ("písemné" místo cvičení 14.5.2020): Určitý integrál Newtonův a Riemannův - výpočet integrálů (užití substituce i integrace per partes), vlastnosti určitého integrálu (a aplikace - zatím nebyly na přednášce).
  Příklady ke cvičení (i pro další cvičení, zvláště příklady pro cvičení aplikací určitého integrálu) - upřesněné:  cvičení 12 - příklady určitý integrál  ( pdf )
  A cvičení písemné:  "písemné" cvičení 12 - 1.část   a   "písemné" cvičení 12 - 2.část
  Domácí úkol:  Domácí úkol 12.  ( pdf )  a  "moje"  řešení dú 12 
• Cvičení 13 ("písemné" místo cvičení 21.5.2020): Pokračování určitého integrálu, zvláště aplikace.
  Příklady jsou v minulém cvičení. Prosím, pište, pokud něco není jasné, a dohodneme si  konzultaci.