Matematika A1, ZS 2015/16

 

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7.dubna 1348

 

Sylabus a literatura - SIS

Požadavky ke zkoušce   a  Upřesněné požadavky ke zkoušce

Ukázka zkouškového testu   

Zkouškové termíny jsou v SISu

 Konzultační hodiny:    ve středu 11:30 - 12:15 v CH1  a   14:00 - 15:30 v pracovně (209, Albertov 6), nebo po dohodě ( osobně, e-mailem, telefonem).
           Konzultační hodiny ve zkouškovém období:   pondělí  9:00 - 12:00 v posluchárně CH7 ( kromě pondělí 25.1.), nebo po dohodě (osobně, mailem, telefonem).

 

Úvodní soustředění - Albeř

• Opakovací "test" ze soustředění na Albeři zde .
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde .
• Stručné materiály k opakování středoškolské matematiky  - od paní doktorky Jany Rubešové zde . 
• Dotazníček zde.  
  
  

Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
• skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   L.Hermann;  R.Mařík
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 
  
  

 Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.
• VUT Brno.  
  
  

 K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
•  J. Petáková: Matematika

 

 

Přednáška   -    pondělí  9:50 - 11:20 (CH1)   a  středa  12:20 - 13:50  (CH1)

• 5.10.2015:

• úvod - proč studovat matematiku, matematika jako jazyk přírodních věd (Galileo Galilei, Issak Newton, Gottfried Leibniz);
  hezké čtení:    Alfred Rényi:   Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)   
                         John.D.Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)  
                         Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
                         Ian Stewart: Matematika života (Odkrývání tajemství bytí) (Academia 2014, edice Galileo)
• stručně o obsahu přednášky - čím se zabývá diferenciální a integrální počet;
• několik poznámek k doporučené literatuře;
• jak je výuka organizována - přednáška, cvičení, repetitorium MA1, konzultace; 
• o zápočtu a zkoušce.

• 7.10.2015:
  
  • ještě k  obsahu přednášky -  čím se zabývá  lineární algebra, jejíž  základy také budeme studovat;  
  • co je třeba dobře znát ze středoškolské matematiky - stručné připomenutí těch partií, které budeme potřebovat  (podrobněji na  cvičeních nebo na repetitoriu MA1):
             jazyk matematiky - výrok, definice, matematická věta a její důkaz, metody důkazů;
             základní poznatky z množinového počtu;
             číselné obory N, Z, Q a R; 
             reálná funkce jedné reálné proměnné -  základní pojmy:definiční obor a obor hodnot funkce; funkce lichá, sudá, periodická, monotonní;
             funkce prostá a  funkce inverzní k prosté funkci; funkce složená; grafy funkcí; elementární funkce.   
• úvodní úvahy o limitě funkce , k čemu mohou pomoci limity funkce;
• intuitivně "druhy" limit na jednoduchých příkladech;

• 12.10.2015 : 
  
  • intuitivně  "druhy" limit na jednoduchých příkladech - pojmenování a označení limit - pokračování; jednostranné limity; spojitost funkce v bodě;
  • ještě další pokusy -  graf funkce se zadanými limitami;
  • jak se "dojde" k definicím limit  a definice nevlastní limity v nevlastním bodě, příklad důkazu takové limity dle definice ( a k tomu poznámka o kvantifikátorech);
  •  vzdálenost v R; definice vlastní limity v nevlastním bodě a  jednoduchý příklad důkazu dle definice.
• 14.10.2015: 
  • definice  nevlastní limity a vlastní limity  ve vlastním bodě; jednoduché příklady důkazů těchto limit dle definice; definice spojitostu funkce v bodě;
  • jak se ukáže, že funkce limitu v daném bodě limitu nemá,  nebo že funkce  není v daném bodě spojitá - souvislost  limity  a limit jednostranných; 
  • "pravidla" pro výpočet limit -  "aritmetika" limit ,  "neurčité výrazy" a  jak na ně;
  • příklady výpočtu limit.
• limita složené funkce - pokus o graf  funkce f(x) = exp (1/x) ; věta o limitě složené funkce;
• věta o limitě sevřené funkce a její modifikace pro nevlastní limitu; příklady;
• spojitost, součtu, součinu a podílu funkcí; věta o limitě, resp.spojitosti, složené funkce;
• další příklady výpočtu limit, zvláště limity "neurčitých výrazů" a  složených funkcí; 
  užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu limit funkcí  sin x / x,  ln(1+x) / x,   ( exp x - 1 ) / x  v bodě x₀=0;
• 19.10.2015: (přednášel dr. Milan Štědrý)
  • limita složené funkce - pokus o graf  funkce f(x) = exp (1/x) ; věta o limitě složené funkce;
  • věta o limitě sevřené funkce a její modifikace pro nevlastní limitu; příklady;
  • spojitost, součtu, součinu a podílu funkcí; věta o limitě, resp.spojitosti, složené funkce;
  • další příklady výpočtu limit, zvláště limity "neurčitých výrazů" a  složených funkcí; 
    užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu limit funkcí  sin x / x,  ln(1+x) / x,   ( exp x - 1 ) / x  v bodě x₀=0.

• 21.10.2015 :
  
  • limita složené funkce - pokus o graf  funkce f(x) = exp (1/x) ;
  • věta o limitě sevřené funkce a její modifikace pro nevlastní limitu; příklady;
  • užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu limit funkcí  sin x / x v bodě x₀=0
• 26.10.2015:
  • některá další užitečná tvrzení o limitách - modifikace věty o limitě sevřené funkce  pro nevlastní limitu, příklady; uspořádání limit; limita monotonní funkce; 
  • posloupnost; limita posloupnosti;
  • nekonečná řada - konvergentní, resp. divergentní řada, jednoduché příklady; 
  • jak se dá vyšetřit konvergence, resp. divergence nekonečné řady - poznámka o kriteriích  konvergence a jednoduché příklady;
  • definice derivace funkce v bodě ; několik příkladů  výpočtu derivací funkcí v bodě; 
  • derivace jako funkce a  pak  odvození derivací některých elementárních funkcí.
• 2.11.2015:
  
  •  limita funkce  ln x / (x-1) v bodě x₀=1 ( tedy i limita  ln(1+x) / x v bodě x₀=0) , odtud limita funkce ( exp x - 1 ) / x  v bodě x₀=0 pro výpočet derivace funkcí ln x v bodě x₀=1
    a exp x v bodě x₀=0 a pak odvození derivace funkce exp x a ln x ;
  • derivace jako funkce a  pak  odvození derivací dalších elementárních funkcí;
  • pravidla pro výpočet derivace součtu, součinu a podílu funkcí, derivace funkce složené; 
  • příklady výpočtu derivací;
• věta o souvislosti vlastní derivace a spojitosti funkce v bodě;
• "dopočítávání" derivací v bodech, kde nelze derivovat "dle pravidel"  výpočtu derivací;
• derivace funkce složené z více než dvou funkcí a limita a derivace funkce f(x)^g(x), příklady.
• 4.11.2015: 
  • derivace funkce složené z více než dvou funkcí a limita a derivace funkce f(x)^g(x), příklady.
  • opakování  pojmu  inverzní funkce, spojitost , limita  a derivace inverzní funkce; 
  • definice cyklometrických funkcí a jejich vlastnosti; odvození derivace funkcí arcsin x a arctg x;
  • příklady výpočtu limit a derivací funkcí, které "obsahují" i funkce cyklometrické;
  • derivace vyšších řádů; 
• 9.11.2015:  
  • užití derivace funkce v bodě -  tečna ke grafu funkce; diferenciál funkce; lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; příklady; 
  • Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a  a Taylorova věta; chování  zbytku v Taylorově vzorci pro x→a, Lagrangeův tvar zbytku;
  • příklad - Taylorův polynom n-tého stupně v bodě a=0  funkce exp(x), sin x, cos x; odhad chyby v aproximaci exp(1);
  • pokus o vyšetření funkce f(x)= x² e^-x  , co "umíme" a co ne;
  • l´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit funkcí; příklady užití l´Hospitalova pravidla;
• užití derivace při vyšetřování vlastností funkce  v intervalu - souvislost znaménka derivace a monotonie funkce v intervalu; lokální extrém funkce, nutná  podmínka lokálního extrému, postačující podmínky pro lokální extrém.
• 11.11.2015: 
  • dokončení vyšetření funkce f(x)= x² e^-x ;
  • užití derivace druhého řádu při  vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body);
  • dokončení vyšetření funkce f(x)= x² e^-x ;
  • shrnutí  vyšetřování průběhu funkce, doplnění o asymptoty grafu;  průběh funkce  f(x)= x+1/x² ;
  • užití Hospitalova pravidla - věta o  "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech, příklady.
• 16.11.2015 :
• vyšetřování globálních extrémů funkce, příklady .
• 18.11.2015:
• Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a  a Taylorova věta; chování  zbytku v Taylorově vzorci pro x→a, Lagrangeův tvar zbytku;
• příklad - Taylorův polynom n-tého stupně v bodě a=0  funkce exp(x), sin x, cos x; odhad chyby v aproximaci exp(1);
• poznámka o Taylorově řadě pro funkce exp(x), sin x, cos x;
• Rolleova věta , Lagrangeova věta o střední hodnotě (i  důkaz) a její důsledky - důkaz věty o souvislosti  znaménka derivace a monotonie funkce na intervalu;
• věta o "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech - důkaz užítím věty o střední hodnotě.
• 23.11.2015 - plán:
• prostory R² a R³  - definice, připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin, v prostoru R³ navíc vektorový součin), velikost ( norma) vektoru, vzdálenost v prostorech R² a R³; 
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, limita, spojitost, derivace, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
• reálná funkce dvou  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor; jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných.
• 25.11.2014: 
• reálná funkce dvou  proměnných -  limita, spojitost, parciální derivace; odvození rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných v bodě  (x₀,y₀, f(x₀,y₀) ), funkce diferencovatelná v bodě (x₀,y₀) , totální diferenciál funkce, gradient;
• lineární aproximace funkce f v okolí bodu (x₀,y₀) , má-li  daná funkce v bodě (x₀,y₀) spojité parciální derivace.
• 30.11.2015
  • ještě reálná funkce dvou  proměnných - parciální derivace vyšších řádů, záměnnost smíšených parciálních derivací, diferenciál druhého řádu, Taylorův polynom druhého řádu funkce dvou proměnných;
• úvod do integrálního počtu : příklady užití "antiderivování" - odvození vztahu pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu; harmonické kmity; souvislost "antiderivování" s "plochou" pod grafem funkce; hledání řešení rovnice radioaktivního rozpadu;
• definice primitivní funkce k dané funkci , přehled základních primitivních funkcí;
• věta o existenci primitivní funkce (bez důkazu), množina primitivních funkcí k dané funkci na intervalu, spojitost primitivní funkce, neurčitý integrál.
• příklady - primitivní funkce i funkci 1/ x na intervalu (-∞,0) a k funkci  ιxι v R.
• 2.12.2015:
  • věty o integraci součtu funkcí a násobku funkce, příklady;
• věty o substituci v neurčitém integrálu; příklady;
• integrace per partes, příklady;
• 7.12.2015:
  • integrace per partes, příklady;
• integrace racionálních funkcí - rozklad racionální funkce na jednoduché zlomky, integrace jednoduchých zlomků, příklady;
• 9.12.2015:
• příklady integrace racionálních funkcí 
• integrály funkcí, které se vhodnými substitucemi převedou na integraci funkcí racionálních, příklady.
• diferenciální rovnice  - úvod.
• 14.12.2015:
• diferenciální rovnice  - úvod, formulace počáteční úlohy , příklady odvození diferenciálních rovnic;
• diferenciální rovnice 1.řádu, spec.rovnice se separovatelnými proměnnými -  obecné řešení, řešení počáteční úlohy; kdy nastávají "skluzy" řešení;
• příklady řešení diferenciálních rovnic se separovanými proměnnými.
• 16.12.2015:
• lineární diferenciální rovnice 1.řádu - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy( bez důkazu);
• řešení lineární rovnice 1.řádu bez pravé strany; řešení rovnice s pravou stranou metodou variace konstant;  příklady;
•  příklady aplikace diferenciálních rovnice prvního řádu;
• určitý integrál -  definice Newtonova integrálu; 
• definice Riemannova integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence; 
• Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu;  Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu;
• základní vlastnosti R-integrálu: linearita, aditivita; 
• integrace per partes a substituce v případě určitého integrálu;
• 21.12.2015:
  • odhady Remannova integrálu; věta o střední hodnotě integrálního počtu;
• aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa, "délky" grafu funkce, odvození a příklady;  fyzikální aplikace - velikost dráhy pohybu při proměnné rychlosti, práce proměnné síly;
• úvod k poslední části  probírané látky - čím se zabývá lineární algebra;
• 4.1.2016:
• matice a počítání s maticemi - sčítání matic a násobení matice konstantou; násobení matic (odvození zápisu soustavy pomocí násobení matice vektorem  a pak definice násobení matice a vektoru, násobení matic). 
• soustavy lineárních rovnic - na příkladech Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy; definice násobení matice a vektoru, "nový" zápis soustavy lineárních rovnic; 
• příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení;
• 6.1.2016:
  • soustavy lineárních rovnic - pokračování: nalezení řešení soustavy ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a tedy nalezení  inverzní matice ke čtvercové matici a pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice;
  • příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení;
  • shrnutí toho, co bylo ukázáno na příkladech při řešení soustav lineárních rovnic - definice uvedených pojmů a otázky, týkající se řešitelnosti rovnic
  • vektorový prostor, spec. n-rozměrný aritmetický prostor Rⁿ, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, a možná i báze a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi, báze a dimense prostoru R^n;
  • ještě matice -  hodnost matice, regulární a singulární  čtvercová matice; inverzní matice k matici regulární;
  • Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic;
  • poznámka o lineární zobrazení R_n do R_m a jeho vyjádření pomocí matice;
  • definice determinantu (indukcí -  rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce);
  • vlastnosti a výpočet  determinantu; 
  • poznámky ke zkoušce. 
• 6.1.2016 (náhradní přednáška večer): 
  • determinant čtvercové matice 2.řádu - odvození ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé;
  • Cramerovo pravidlo pro řešení čtvercové soustavy rovnic;
  • další užití determinantu.

  

Cvičení - paralelka 04

Cvičení - pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

1.  limita a spojitost funkce
2.  průběh funkce - několik řešených příkladů
3.  neurčitý integrál
4.  diferenciální rovnice

 

• 5.10.2015: Informace o cvičení, podmínky pro získání zápočtu -  účast na cvičeních ( 6 absencí může být neomluveno);  vypracování domácích  úkolů v dohodnutém termínu;  
   získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru.
   Opakování středoškolské matematiky -  výběr příkladů -  opakovací test z Albeře, dále  opakování 1  a  opakování 2    
  
•  7.10.2014:  Ještě opakování - funkce a jejich vlastnosti, grafy funkcí, absolutní hodnota reálného čísla, řešení rovnic a nerovnic (příklady z minulého cvičení).
• 12.10.2015: Ještě opakování - viz minulé cvičení.
• 14.10.2015: Ještě opakování - řešení rovnic a nerovnic; funkce a jejich vlastnosti a grafy; inverzní funkce; jednoduché důkazy; 
  Domácí úkol:   du1 - opakování  (do středy 21.10.)
• 21.10.2015: Ještě opakování - řešení rovnic a nerovnic; funkce a jejich vlastnosti a grafy; inverzní funkce; jednoduché důkazy; řešení příkladů z domácího úkolu; limita funkce - intuitivně.
• 26.10.2015:  Problémy a chyby v domácím úkolu 1; limita funkce - intuitivně i dle definice, výpočet jednoduchých limit  ( aritmetika limit, limita složené funkce, neurčité výrazy) : příklady - limita funkce .
  Domácí úkol: du2 - analytická geometrie (dobrovolný - do středy 11.11.) ;  du3 - limita funkce   (do pondělí 9.11.)
  
• 2.11.2015 :  Výpočet limit (příklady z minulého cvičení). 
  
• 4.11.2015:  Ještě výpočet limit .
• 9.11.2015: Derivace funkce - definice a výpočet derivací .  Výpočet  a užití derivací - výběr příkladů : derivace funkce, užití derivace .
• 11.11.2015:  Ještě počítání limit složených funkcí, zvláště s  cyklometrickými funkcemi, výpočet  derivací "složitějších" funkcí (příklady z minulého cvičení). Užití derivace funkce - rovnice tečny, užití diferenciálu, lineární aproximace funkce, L´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit (příklady viz cvičení 9.11.)
  Domácí úkol:   du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace  ( odevzdat do pondělí 30.11.)
  
• 16.11.2015:  Výpočet  derivací "složitějších" funkcí , L´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit (příklady viz cvičení 9.11.)
• 18.11.2015:  Testík z limity funkce; výpočet derivací, vyšetřování průběhu funkce.
• 23.11.2015 :  Hodnocení 1.testíku;  vyšetřování průběhu funkce.
  Domácí úkol:  du5 - průběh funkce  ( pondělí 7.12.)
• 25.11.2015:  Ještě vyšetřování průběhu funkce; derivace funkce ve "špatných" bodech; užití derivace funkce v bodě - rovnice tečny, diferenciál funkce a jeho užití, lineární aproximace funkce, Taylorův polynom. 
• 30.11.2015: Ještě diferenciál a jeho užití.  Funkce dvou proměnných - příklady: příklady- fce dvou proměnných.
• 2.12.2015 - plán: Ještě vyšetřování průběhu funkce; derivace funkce ve "špatných" bodech; globální extrémy funkce. Funkce dvou proměnných. neurčitého integrál - základní jednoduché úlohy.  Výběr příkladů - neurčitý integrál 1
• 7.12.2015: Testík z derivací. Neurčitý integrál -integrace per partes i pomocí substituce;  integrace jednoduchých zlomků.   Výběr příkladů - neurčitý integrál 2  .
• 9.12.2015: integrace racionální funkce ; substituce, vedoucí na integraci racionální funkce.
  Domácí úkol: du6 - neurčitý integrál ;  navíc můžete vyzkoušet  Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
• 14.12.2015: Ještě integrace racionální funkce ; substituce, vedoucí na integraci racionální funkce; integrace per partes. (Přiklady z minulých cvičení.)
  
• 16.12.2015:  Neurčitý integrál - Integrace per partés (další příklady). a ještě příklady na užití substituce.  Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými a lineární diferenciální rovnice 1.řádu. Příklady: Několik příkladů  k procvičení řešení diferenciálních rovnic  a  lineární diferenciální rovnice 1.řádu
  Domácí úkol: du - diferenciální rovnice
  
• 21.12.2015: Ještě řešení diferenciálních rovnic ( příklady viz minulé cvičení). 
• 4.1.2016: Ještě řešení diferenciálních rovnic ( příklady viz minulá cvičení).  Určitý integrál-výpočet, aplikace. Výběr příkladů - určitý integrál.
• 6.1..2016:  Určitý integrál-výpočet, aplikace. Matice a jejich užití při řešení soustav lineárních rovnic (Gaussova eliminace).