Matematická analýza pro informatiky 2 - ZS 2022/23

Cvičení k přednášce Matematická analýza 2  (NMAI055)

čtvrtek:  14:00 - 15:30  v S10  (paralelka 06),   15:40 - 17:10 v S6  (paralelka 03)              

A třeba by se mohlo hodit i podívat se na stránky 

• PřF  - LS  - Matematika A2
• PřF -  LS  - Rozšíření matematiky A1
  
  

Konzultační hodiny během semestru
           před cvičením vždy ve čtvrtek od 12:30 nebo po dohodě i dříve, na chodbě v 1. nebo v 2.poschodí (u KAM), nebo pak po cvičení od 17:20,    
           nebo i jindy po dohodě  ( e-mailem krylova@kam.mff.cuni.cz   nebo  krylova@natur.cuni.cz  nebo na 604 268 425)

Konzultační hodiny ve zkouškovém období
            po dohodě  ( e-mailem krylova@kam.mff.cuni.cz   nebo  krylova@natur.cuni.cz  nebo na 604 268 425)

Příklady, probírané na cvičeních:

• Cvičení 1. (29.9.2022) :  úvodem návrh "organizace" cvičení, podmíny zápočtu vyhlásíme na příštím cvičení;
  dále dle přání posluchačů opakování některých důležitých pojmů z MAI1;  pak krátký úvod do analýzy funkcí více proměnných a potřebnosti metriky
  (jako příklad v prostorech Rⁿ , spec. v R² );
  dále metrické prostory -  připomenutí definic základní pojmů: metrika, příkaldy metrik v prostorech Rⁿ , spec. v R² ; vlastosti podmnožin metrických prostorů  - množina otevřená, resp. uzavřená; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru,spojitost zobrazení.
  Výběr příkladů: metrické prostory zde ( pdf ) - i k promyšlení a přípravě na příští cvičení.  
  Domácí úkol:  
  dú - opakování  ( pdf ) "dobrovolný"  
     (tento domácí úkol můžete poslat e-mailem, nejlépe do úterní půlnoci, pokud ho budete chtít mít "opravený" do příštího cvičení, nebo aspoň na příštím cvičení pak odevzdat.) 
  dú 1 - metrické prostory  ( pdf ) 
     (tento domácí úkol můžete poslat emailem do úterý 11.10. (do půlnoci), bude snad opravený do následujícího cvičení, nebo úkol pak můžete odevdat na cvičení)
  
  
• Cvičení 2. (6.10.2022):
  Podmínky zápočtu: odevzdání aspoň sedmi domácích úkolů z těch, co budou zadány ke každému cvičení,  a vypracování 1. testu. 
  1. metrické prostory - příklady a problémky i dle přání posluchačů (z příkladů, zadaných ve cvičení 1.,  příklad 5. z části (v p03))  a příklady z části b) a c). ) ; připomenutí definice spojitosti zobrazení;
  2. dále reálné funkce více proměnných  ( f : R^m → R ) a opakování základních pojmů - definiční obor funkce, limita, vyšetření spojitosti funkce, výpočet parciálních derivací, totální diferenciál funkce a jeho významu a užití (více jsme aspoň stručně stihli v p03, v p06 "doženeme" příště)
  Výběr příkladů: funkce více proměnných 1 zde ( pdf ) ( i pro cvičení 3).
  Domácí úkol:  dú 2 - funkce více proměnných 1  ( pdf ) 
    ( Tento domácí úkol můžete odevzdat na cvičení 20.10., nebo můžete úkol poslat emailem dříve, bude pak snad do cvičení opravený.)
  
  
• Cvičení 3. (13.10.2022):
  1. ještě k metrickým prostorům - vlastosti podmnožin metrických prostorů, limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru, spojitost zobrazení v metrickém ptostoru, obrazy a vzory množin a souvislost se spojitosti zobrazení - podle dotazů posluchačů, a též poznámky k řešení domácích úkolů "z metrických prostorů";
  2. funkce více proměnných -  ještě limity, spojitost, výpočet parciálních  derivací,  totální diferenciál funkce více proměnných a jeho užití; záměnnost parciálních derivací vyšších řádů;
  Domácí úkol: zůstává ještě dú 2 - funkce více proměnných 1  ( pdf ) ( více jsme na cvičení "nestihli") a můžete, chcete-li, řešit i
  "dobrovolný" domácí úkol 3: dú 3 - funkce více proměnných 2 ( pdf )
  
  
• Cvičení 4. (20.10.2022):
  Poznámky k řešení 2.domácího úkolu, ještě opakování výpočtu parciálních derivací i vyšších řádů; dále příklady vlastností funkce, které vyplývají z toho, že funkce má v daném bodě totální diferenciál - výpočet derivace funkce ve směru daného vektoru; výpočet derivace složené funkce více proměnných ("řetězové" pravidlo);  příklady užití "řetězového" pravidla.
  limita, spojitost, parciální derivace funkcí f : Rⁿ → R^m i vlastnost funkce f : Rⁿ → R^m má totální diferenciál;
  Výběr příkladů:  funkce více proměnných 2 (i pro příští cvičení)   zde  ( pdf ).
  Domácí úkol: dú 4 - funkce více proměnných 3  ( pdf )
  
  
• Cvičení 5. (27.10.2022) :
  Připomenutí věty o derivaci složených funkcí více proměnných ("řetězové pravidlo") ; 
  vyšetřování vektorových funkcí více proměnných  f : Rⁿ → R^m : limita, spojitost, parciální derivace, funkce f : Rⁿ → R^m má totální diferenciál; 
  dále úvodní příklady k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně. 
  Výběr příkladů:  Funkce více proměnných 2  zde  ( pdf )   a   funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  ( pdf ) (i pro další cvičení) .
  A  zde je několik řešených příkladů - funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ; funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
  Domácí úkol: dú 5 - funkce více proměnných 4  ( pdf )
  
  
• Cvičení 6. (3.11.2022):
  Jen ještě opakování věty o implicitní funci jedné i více proměnných a další příklady užití této věty  - aproximace funkce jedné proměnné, definované implicitně, Taylorovým polynomem a dále odvození rovnice tečny ke křivce, dané rovnicí F(x,y)=0 a rovnice tečné roviny k ploše, dané rovnicí F(x,y,z)=0  (příklady viz Funkce více proměnných 2  zde  ( pdf ) ) . Dále jen úvodní poznámky k problému najít vázané  extrémy funkce dvou proměnných. 
  Domácí úkol: zůstává dú 5 - funkce více proměnných 4  ( pdf ), 
  a pokud jste si vybrali a řešili  jen "nutné" dva  příklady z tohoto úkolu, pak můžete dobrovolně řešit i příklady další, nebo "dobrovolně"  zkusit třeba i 
  dú6 - funkce více proměnných 5  ( pdf )   (tento "dobrovolný" úkol bude opět "počítán").
  
  
• Cvičení 7. (10.11.2022):
  Vyšetřování vektorových funkcí více proměnných  f : Rⁿ → R^m : limita, spojitost, parciální derivace, funkce f : Rⁿ → R^m má totální diferenciál (příklady z výběru příkladů Funkce více proměnných 2);
  dále  funkce vektorové, definované implicitně soustavou rovnic (příklady, i řešené, jsou v minulém cvičení)  a úvodní příklady vyšetřování extrémů funkcí dvou proměnných. 
  Výběr příkladů:  Funkce více proměnných 4 (extrémy funkce) zde  ( pdf )  (i pro další cvičení) .
  A zde je několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů  extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady  .
  Domácí úkol: dú7  - funkce více proměnných 6  ( pdf )
  
  
• Cvičení 8. (24.11.2022):
  Nejprve poznámky k řešení domácího úkolu 7 - k diferenciálnímu počtu vektorových funkcí více proměnných a k příkladům užití věty o implicitních funkcích;
  dále opakování a shrnutí toho, co "víme" o existenci a hledání globálních extrémů funkce více  proměnných (cvičili jsme to na funkcích dvou proměnných)  a úvodní příklady vyšetřování globálních i vázaných  extrémů funkce dvou proměnných 
  Výběr příkladů: Z minulého cvičení a i pro příští cvičení- funkce více proměnných 4 (extrémy funkce) zde  ( pdf ) ;
  a několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů  extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady  ;
  Domácí úkol: dú 8  ( pdf )
  
  
• Cvičení 9. (1.12.2022):
  Opakování, co "víme"o nabývání globálních extrémů a vázaných extrémů funkce a věty o  Lagrangeových  multiplikátorech, další příklady vyšetřování globálních a vázaných extrémů funkcí dvou nebo tří proměnných. Úvodní úvahy o dvojném Riemannovu integrálu.
  Domácí úkol:  "jako" dú 9, k zápočtu ale povinný:    1."domácí" test    ( pdf )  - shrnutí základních poznatků z diferenciálního počtu (funkcí více proměnných) ( bylo by dobré "odevzdat" test "do" nebo "na" cvičení 8.12.) 
  
  A  pokud byste si chtěli zopakovat Riemannův integrál funkcí jedné proměnné, můžete se podívat na cvičení z matematické analýzy 1 v LS 2019/20
  a zkusit si opakování na jejich domácím úkolu 12:
        Cvičení 12  - MAI 1 ("písemné", místo cvičení 14.5.2020): Určitý integrál Newtonův a Riemannův - výpočet integrálů (užití substituce i integrace per partes),
        vlastnosti určitého integrálu a aplikace.
        Příklady k tomuto cvičení z MAI 1:  cvičení 12 - příklady určitý integrál  ( pdf ) 
        A cvičení "písemné" z MAI 1:  "písemné" cvičení 12 - 1.část   a    "písemné" cvičení 12 - 2.část  a  k tomu domácí úkol:  Domácí úkol 12.  ( pdf )  a  "moje"  řešení dú 12  .
  
  
• Cvičení 10 (8.12.2022):
  Poznámky k řešení prvního"domácího" testu. Pak sručné opakování Riemannova integrálu funkce jedné proměnné  - definice, existence, vlastnosti,  výpočet, aplikace,  základní věta analýzy a výpočet integrálu pomocí Newton-Leibnizovy formule;  dále připomenutí definice, vlastností dvojného integrálu, příklady užití dvojného integrálu; jednoduché příklady výpočtu (zatím) dvojného integrálu užitím Fubiniovy věty.
  Výběr příkladů:  (i pro další cvičení)  dvojný integrál   ( pdf ) ;  
  Domácí úkol:   dú10 - dvojný integrál 1  ( pdf )  ( do 22.12.)
  
  
• Cvičení 11 (15.12.2022):
  Výpočet dvojných i trojných integrálů užitím Fubiniho věty, některé aplikace integrálu dvojného i trojného. 
  Výběr příkladů: z příkladů v minulém cvičení a ze souboru  trojný integrál    ( pdf ). 
  A "navíc" k nahlédnutí - domácí úkoly "pro chemiky PřF" a jejich "komentované řešení": 
       dú 7  (pro chemiky  ( pdf ) - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení   dú 7 - řešení 
       dú 8  (pro chemiky) - trojný integrál  a  řešení   dú 8 - řešení  .
  Domácí úkol:  dú11 - dvojný integrál 2    (stačí odevzdat do úterý 3.1.2023)
  
  
• Cvičení 12 (22.12.2022) - "nekonalo se", dohodneme se na náhradním cvičení po svátcích:
  Poznámky k řešení prvního domácího testu, případně řešení některých příkladů z testu (dle přání posluchačů) uděláme na posledním cvičení 5.1.2023 .
  Dále byly v plánu ještě jednoduché příklady užití substituce v dvojném i trojném integrálu integrálu - souřadnice polární, válcové a možná i sférické. Můžete si jako náhradu za cvičení přečíst přednášky pro chemiky, jednoduché, s mnoha příklady, snad budou užitečné.
  "Písemné" přednášky:  
  přednáška 27.4.2020 - substituce ve dvojném integrálu do polárních souřadnic; příklady aplikací dvojného integrálu a výpočtu dvojných integrálu pomocí substituce do polárních souřadnic;
  přednáška 29.4.2020 - příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů; substituce v trojném integrálu - úvodní příklad a "cesta" k substituci do válcových souřadnic v trojném integrálu; 
  přednáška 4.5.2020 - substituce v trojném integrálu - válcové souřadnice a sférické souřadnice; příklady;
  Příklady ze cvičení 10 a cvičení 11.
  Domácí úkol: dú12 - substituce ve dvojném a trojném integrálu , k "vyzkoušení" substitucí, asi nejčastěji užívaných při výpočtu dvojných a trojných integrálů.
  A opravný 1."domácí" test (z diferenciálního počtu)   zde     .
  "Nepovinný"   2."domácí" test .
  
  
• Cvičení 13 (5.1.2023):
  1. Poznámky k řešení prvního "domácího" testu, případně řešení některých příkladů z testu (dle přání posluchačů). 
  2. Jednoduché příklady užití substituce v dvojném i trojném integrálu integrálu (k poznámkám o substituci z přednášky) - souřadnice polární, válcové a sférické -
      příklady ze souboru  trojný integrál  ( pdf )  a z  dú12 - substituce ve dvojném a trojném integrálu .
  3. K metrickým prostorům - zopakování vlastností prostorů úplných a  prostorů kompaktních.
  4. A "pro zájemce" - k poznámkám v přednášce o  konvergenci posloupností funkcí  ( konvergence bodová, resp. stejnoměrná. resp. lokálně stejnoměrná na množině) - 
      aspoň několik řešených příkladů vyšetřování konvergence posloupností funkcí - konvergence posloupností funkcí  (pro zájemce) .