Matematická analýza pro informatiky 2 - ZS 2025/26

Pro opakování základních důležitých partií z Matematické analýzy 1 třeba poslouží (moje) cvičení z MA1 z LS 2019/20 ,  odkaz  zde  .

Příklady, probírané na cvičeních:

• 1. cvičení (1.10.2025)  
  Úvodem návrh "organizace" cvičení (zvláště "sladění"cvičení s přednáškou), návrh konzultací a podmínky zápočtu; pak připomenutí, "o čem byla" Matematická analýza 1, opakování některých důležitých pojmů z MA1.
  Dále metrické prostory -  připomenutí definic základních pojmů: metrika, příklady metrik v prostorech Rⁿ , spec. v R² ; vlastnosti podmnožin metrických prostorů  - množina otevřená, resp. uzavřená v metrickém prostoru; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru,  příklady limit posloupností v prostorech Rⁿ a zopakování, co jsou hromadné body množiny, hraniční body, uzávěr množiny a příklady k procvičení těchto nových pojmů.
  Výběr příkladů:  
      metrické prostory zde  - i k promyšlení a přípravě na příští cvičení.  
  Domácí úkol: 
       dú 0 - opakování MA1    "dobrovolný"  (ukázkový zápočtový test z MA1)
      (Domácí úkol můžete poslat e-mailem do pondělního rána (6.10.), pokud ho budete chtít mít "opravený" do příštího cvičení, nebo na příštím cvičení pak odevzdat.
       Ale můžete si opakovat  MA 1 i "pomaleji"  a  úkol odevzdat i později.)
      dú 1 - metrické prostory 
      (Tento domácí úkol můžete poslat emailem do pondělí 6.10., bude pak snad opravený do následujícího cvičení, nebo úkol pak můžete odevzdat na cvičení 8.10..
       A pokud budete mít nějaké otázky k řešení, probereme je na cvičení a úkol pak můžete vyřešit a poslat později.)
  
  
• 2. cvičení (8.10.2025):
  Ještě pokračování opakování  metrických prostory, i dle přání posluchačů -  připomenutí definic základních pojmů: metrika, příklady metrik v prostorech Rⁿ , spec. v R² ; vlastnosti podmnožin metrických prostorů  - množina otevřená, resp. uzavřená v metrickém prostoru, uzávěr množiny; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru,  příklady limit posloupností v prostorech Rⁿ .
  Příklady z minulého cvičení.
  Dále reálné funkce více proměnných  ( f : R^m → R )  - opakování základních pojmů: definiční obor funkce, limita, spojitost funkce, na konci cvičení jen ukázka výpočtu parciálních derivací a připomenutí definice totálního diferenciálu funkce a jeho významu. 
  Výběr příkladů: 
       funkce více proměnných 1  (i pro cvičení 3)
  Domácí úkol:   
       dú2 - funkce více proměnných 1 , ale protože jsme neprobrali vše, zkuste si udělat  první dva příklady, výpočet parciálních derivací si tak zkuste sami. Další příklady z dú2 necháme ještě jako domácí úkol z příštího cvičení.
  
  
• 3. cvičení (15.10.2025):
  Funkce více proměnných - výpočet limit, vyšetření spojitosti, výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Dle přání pana profesora, jsme si uvedli definici, existenci a užití diferenciálu funkce jedné proměnné, a dále jsme zopakovali definici toho, že funkce více proměnných má totální diferenciál, nutné a postačující podmínky pro "míti totální diferenciál", a příklady vyšetření existence TD funkce více proměnných. 
  Výběr příkladů: 
        Příklady z minulého cvičení funkce více proměnných 1   funkce více proměnných 1  , a i pro příští cvičení   funkce více proměnných 2.
  Domácí úkol: 
       Zůstává ještě   dú2 - funkce více proměnných 1  a můžete, chcete-li, řešit i "dobrovolný" domácí úkol 3:  dú 3 - funkce více proměnných 2 .
  
  
• 4. cvičení (22.10.2025):
  Poznámky k řešení dú1 i dú2. Dále ještě výpočet limit, vyšetření spojitosti, výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů) funkcí více proměnných; příklady vyšetření existence TD funkce více proměnných. Nestihli jsme "počítání" s vektorovými funkcemi více proměnných a výpočet derivací složených funkcí více proměnných (řetězové pravidlo). 
  Domácí úkol: 
       Můžete ještě promýšlet "dobrovolný" domácí úkol 3:  dú 3 - funkce více proměnných 2 , další, 4.domácí úkol,  je zadán v příštím cvičení.
  
  
• 5. cvičení (29.10.2025):
  Poznámky k řešení domácích úkolu dle případných dotazů posluchačů. Dále nalezení vzorce pro derivaci ve směru v bodě, kde má daná funkce totální diferenciál a odtud  výpočet derivace ve směru. Příklad výpočtu parciálních derivací (i vyšších řádů) složených funkcí užitím "řetězového pravidla". Opakování věty o implicitní funkci jedné proměnné a úvodní příklad aplikace této věty (k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně).
  Výběr příkladů:
       Funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  (i pro příští cvičení).
       A  zde je několik řešených příkladů: funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ; funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
  Domácí úkol:   
        dú 4 - funkce více proměnných 3  -  příklad 3, zkuste i příklad 4. , z příkladu 3. si, prosím, promyslete a sepište derivace aspoň dvou složených funkcí z těch v příkladu zadaných.
        A můžete už zkusit řešit i  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do  cvičení 26.11. .
  
  
• 6. cvičení (5.11.2025):
  Ještě příklad výpočtu parciálních derivací (i vyšších řádů) složených funkcí užitím "řetězového pravidla". Limita, spojitost, parciální derivace i totální diferenciál funkcí f : R^m → Rⁿ a "řetězové pravidlo" pro tyto funkce. Příklady užití věty o implicitní funkci jedné i více proměnných. Existence a vyšetření lokálních i globálních extrémů funkce  - úvodní příklady u funkcí dvou proměnných. Pokračovat ve vyšetřování extrémů funkcí více proměnných budeme na příštím cvičení. 
  Výběr příkladů:
      Příklady vyšetřování funkcí, definovaných implicitně, jsou v minulém cvičení, a dále, i pro další cvičení  - funkce více proměnných 4 (extrémy funkce)   zde  .
      A několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady 
  Domácí úkol:   
        Zůstává  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do cvičení  26.11.;  
        a můžete  "dobrovolně"  zkusit třeba i  dú6 - funkce více proměnných 5   - tento "dobrovolný" úkol bude opět "počítán" (první příklad jsme vyřešili na cvičení), 
        a dále  můžete řešit i   dú7  - funkce více proměnných 6   - stačí odevzdat do  cvičení 26.12. .
        A další domácí úkol je  dú 8 - extrémy funkce   ,  tento úkol stačí odevzdat do (nebo na) cvičení 3.12. .
  
  
• Cvičení 12.11. se nekonalo  - byl děkanský sportovní den.
  
  
• 7. cvičení (19.11.2025):
  Dle přání posluchačů jsme opakovali "řetězové pravidlo" a jeho užití při aplikacích vět o implicitní funkci jedné proměnné - aproximace funkce jedné proměnné, definované implicitně, Taylorovým polynomem a dále odvození rovnice tečny ke křivce, dané rovnicí F(x,y)=0. Dále příklady užití věty o implicitní funkci  více proměnných (pro implicitní funkce dvou proměnných)  (příklady, i řešené, jsou v minulém cvičení).
  
  
• 8.cvičení (26.11.2025):
  Zůstává část plánu  původně pro minulé cvičení (19.11.):
  Ještě příklady užití věty o implicitní funkci  více proměnných  (příklady, i řešené, jsou v minulém cvičení).
  Pak připomenutí toho, co víme o existenci lokálních, globálních extrémů a vázaných extrémů funkcí více proměnných, Dále úvod do vyšetřování globálních extrémů a hlavně vázaných extrémů funkce dvou, resp.tří proměnných užitím věty o Lagrangeových multiplikátorech - zopakování a "promyšlení" této věty a řešení jednoduchého "úvodního" příkladu. 
  Pak připomenutí  definice a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné, pak (dle přednášky) úvodní úvahy o Riemannově dvojném integrálu a úvodní jednoduché příklady výpočtu dvojného integrálu užitím Fubiniho věty.
  Výběr příkladů: 
       Příklady vyšetřování funkcí, definovaných implicitně, jsou ve cvičení 29.10. a (už v minulém cvičení byly příklady) funkce více proměnných 4 (extrémy funkce)  zde  ,
       několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady 
  Domácí úkol:
        Stále zůstává  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do cvičení  3.12.;  
        a můžete  "dobrovolně"  zkusit třeba i  dú6 - funkce více proměnných 5   - tento "dobrovolný" úkol bude opět "počítán" (první příklad jsme vyřešili na cvičení), 
        a dále  můžete řešit i   dú7  - funkce více proměnných 6   - stačí odevzdat do  cvičení  3.12. .
        A další domácí úkol je  dú 8 - extrémy funkce   ,  tento úkol stačí odevzdat do (nebo na) cvičení 10.12. . 
       
• 9. cvičení (3.12.2025):
  Ještě příklady vyšetření vázaných extrémů funkce dvou, resp.tří proměnných užitím věty o Lagrangeových multiplikátorech. Pak připomenutí  definice a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné, pak (dle přednášky) zopakování definice a vlastností  Riemannova dvojného integrálu, věty o jeho existenci a úvodní jednoduché příklady výpočtu dvojného integrálu užitím Fubiniho věty.  
  Výběr příkladů:   dvojný integrál  ( i pro další cvičení)
  A třeba se "hodí" i řešené příklady z domácích úkolů z matematiky pro studenty chemie na PřF:
       PřF dú7 - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby)  dú 7 - řešení
       PřF dú8 - integrál trojný (výpočet a aplikace) a "moje" řešení  dú 8 - řešení
  Domácí úkol ("náš"):
       dú10 - dvojný integrál 1  , pokuste se odevzdat do (nebo na) cvičení 17.12. nebo alespoň během "Vánočních" prázdnin. 
  
  
• 10. cvičení (10.12.2025):
   Ještě zopakování a shrnutí toho, co bylo přednášeno o vázaných extrémech funkcí více proměnných pomocí podrobného řešení příkladu na vázané extrémy.
   Dvojné a trojné integrály jsme přesunuli na další cvičení.
   Příklady jsou v minulých cvičeních.
   Domácí úkol:
   je stále ještě  dú 8 - extrémy funkce   a  můžete již řešit i úkol " z vícenásobných integrálů"  dú10 - dvojný integrál 1 . 
   A  "jako" dú 9  je "domácí" test  - shrnutí základních poznatků z diferenciálního počtu funkcí více proměnných, můžete poslat řešení testu během Vánočních  prázdnin nebo pak na posledním cvičení nebo probrat na konzultaci.   
      
• 11.cvičení (17.12.2025) -plán: 
   Další příklady výpočtu dvojných a trojných integrálů - užití Fubiniovy věty. a dále jednoduché příklady užití substituce v dvojném i trojném integrálu integrálu (k poznámká m o substituci z přednášky) -  souřadnice polární,válcové a sférické.
   Výběr příkladů:
         dvojný integrál   a   trojný integrál  (i pro další cvičení)
   Domácí úkol: stále ještě 
       dú10 - dvojný integrál 1  , řešení můžete poslat během "Vánočních" prázdnin nebo odevzdat na posledním cvičení 7.1..
       A můžete si i zkusit příklady z úkolů 
       dú11 - dvojný integrál 2   a   dú12 - substituce ve dvojném a trojném integrálu 
       a řešení poslat ke kontrole do zápočtu nebo i probrat na konzultaci.