Matematika A1, ZS 2014/15

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7.dubna 1348

Sylabus a literatura - SIS

Požadavky ke zkoušce - upřesnění

Ukázka zkouškového testu

Zkouškové termíny jsou v SISu

Některé vhodné texty, přístupné na internetu:

A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT zde
D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 zde
J. Veselý: Základy matematické analýzy I zde
Texty z VŠB-TUO
Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý; L.Hermann; R.Mařík
Petr Olšák: Lineární algebra zde

Příklady můžete čerpat také zde:

N.Krylová, M.Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky.
VŠCHT - Mgr.L.Heřmánek a kol.: Sbírka příkladů z matematiky I
Sbírka KAM MFF UK .
EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
Sbírka VŠB Ostrava.
VUT Brno.

K opakování středoškolské matematiky:

J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
Z. Vošický: Matematika v kostce
J. Petáková: Matematika

Přednáška - pondělí 10:40 - 12:10 a středa 11:30 - 13:00.

Konzultační hodiny: pondělí 9:45 - 10:30 v CH3, středa 10:00 -11:00 (a případně také po přednášce 13:00 - 13:50) v mé pracovně, nebo i jindy po dohodě.
Konzultační hodiny ve zkouškovém období: pondělí 9:00 - 12:00 v posluchárně CH7, nebo po dohodě ( osobně, mailem, telefonem).

1.10.2014 :
- Úvod - proč studovat matematiku, matematika jako jazyk přírodních věd (Galileo Galilei, Issak Newton, Gottfried Leibniz);
  hezké čtení:
    Alfred Rényi: Dialogy o matematice
      John.D.Barrow: Pí na nebesích (O počítání, myšlení a bytí)
      Keith Devlin: Jazyk matematiky (Jak zvládnout neviditelné)
- Stručně o obsahu přednášky - čím se zabývá matematická analýza a lineární algebra, jejichž základy budeme studovat.
- Jak je výuka organizována - přednáška, cvičení, repetitorium MA1, konzultace; o zápočtu a zkoušce.
6.10.2014 :
Ještě několik poznámek k obsahu přednášky a literatuře, také k organizaci výuky .
- O obsahu přednášky - čím se zabývá matematická analýza a lineární algebra, jejichž základy budeme studovat;
8.10.2014 : co je třeba dobře znát ze středoškolské matematiky - stručné připomenutí těch partií, které budeme potřebovat (podrobněji na cvičeních):
- jazyk matematiky - výrok, definice, matematická věta a její důkaz, metody důkazů;
- základní poznatky z množinového počtu;
- číselné obory N, Z, Q a R; R podrobněji - vzdálenost v R, okolí bodu v R.
- reálná funkce jedné reálné proměnné - základní pojmy:definiční obor a obor hodnot funkce; funkce lichá, sudá, periodická, monotonní; funkce prostá a funkce inverzní
  k prosté funkci; funkce složená; grafy funkcí; elementární funkce;
- úvodní úvahy o limitě funkce , k čemu mohou pomoci limity funkce - intuitivně graf funkce f(x) = exp (1/x) .
13.10.2014 :
- limita funkce - dokončení úvodního příkladu ( limity funkce f(x)=exp(1/x) );
- ještě další pokusy - limity funkce a graf funkce se zadanými limitami;
- definice nevlastní limity ve vlastním , resp.nevlastním bodě - formulace , jak se "dojde" k definicím
  ( k tomu ještě poznámka o kvantifikátorech a R podrobněji - vzdálenost v R, okolí bodu v R)
  jednoduché příklady těchto limit.
15.10.2014 :
- definice vlastní limity ve vlastním , resp.nevlastním bodě a jednoduché příklady těchto limit;
- spojitost funkce v bodě ;
- jednostranné limity;
- jak se ukáže pomocí jednostranných limit, že funkce v daném bodě limitu nemá, nebo že v daném bodě není spojitá.
- "pravidla" pro výpočet limit - 1. aritmetika limit a ; 2. "neurčité výrazy" - jak na ně;
- jednoduché příklady výpočtu limit.
20.10.2014 :
- další "pravidla" pro výpočet limit - věta o limitě složené funkce; věta o limitě sevřené funkce a její modifikace pro nevlastní limitu;
- jak se pozná, že funkce limitu v daném bodě limitu nemá - souvislost limity a limit jednostranných;
- spojitost, součtu, součinu a podílu funkcí; věta o limitě, resp.spojitosti, složené funkce;
- věta o limitě monotonní funkce;
- příklady výpočtu limit, zvláště limity "neurčitých výrazů" a složených funkcí;
  užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu limit funkcí sin x / x, ln(1+x) / x, ( exp x - 1 ) / x v bodě x₀=0;
- opakování pojmu inverzní funkce, spojitost a limity inverzní funkce, funkce cyklometrické.
22.10.2014:
- některá další užitečná tvrzení o limitách - uspořádání limit; limita monotonní funkce;
- posloupnost; limita posloupnosti;
- definice derivace funkce v bodě ; několik příkladů výpočtu derivací funkcí v bodě; příklad nevlastní derivace v bodě;
- derivace jako funkce - výpočet derivace funkce sin x .
27.10.2014: ( přednáška bude opakována na repetitoriu MA1 ve středu 29.10. od 17:20 v CH3 )
- připomenutí definice derivace funkce v bodě; limita funkce ln x / (x-1) v bodě x₀=1 ( tedy i limita ln(1+x) / x v bodě x₀=0) , odtud limita funkce ( exp x - 1 ) / x v bodě x₀=0 pro výpočet derivace funkcí ln x v bodě x₀=1 a exp x x₀=0;
- derivace jako funkce a pak odvození derivací elementárních funkcí;
- pravidla pro výpočet derivace součtu, součinu a podílu funkcí, derivace funkce složené;
- věta o souvislosti vlastní derivace a spojitosti funkce v bodě;
- příklady výpočtu derivací;
- funkce cyklometrické - definice funkcí arcsin x a arctg x, stručně vlastnosti těchto dvou funkcí
29.10.2014 :
- opakování pojmu inverzní funkce, spojitost , limita a derivace inverzní funkce;
- opakování definice cyklometrických funkcí a jejich vlastnosti; odvození derivace funkcí arcsin x a arctg x;
- příklady výpočtu limit a derivací funkcí, které "obsahují" i funkce cyklometrické;
- "dopočítávání" derivací v bodech, kde nelze derivovat "dle pravidel" výpočtu derivací;
- derivace funkce složené z více než dvou funkcí a limita a derivace funkce f(x)^g(x), příklady.
3.11.2014 :
- užití derivace funkce v bodě - spojitost funkce v bodě, kde má vlastní derivaci; tečna ke grafu funkce; diferenciál funkce;
- lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; příklady.
- derivace vyšších řádů.
- pokus o vyšetření funkce f(x)= x² e^-x , co "umíme" a co ne.
5.11.2014:
- l´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit funkcí; příklady užití l´Hospitalova pravidla;
- užití derivace při vyšetřování vlastností funkce v intervalu - souvislost znaménka derivace a monotonie funkce v intervalu; lokální extrém funkce, nutná podmínka lokálního extrému, postačující podmínky pro lokální extrém;
- užití derivace druhého řádu při vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body);
- shrnutí vyšetřování průběhu funkce, doplnění o asymptoty grafu; příklady : dokončení vyšetření funkce f(x)= x² e^-x , dále průběh funkce f(x)= x+1/x² .
10.11.2014 :
- shrnutí vyšetřování průběhu funkce, doplnění o asymptoty grafu; příklady - průběh funkce f(x)= x³/(x-2)² a f(x)= exp(1/x);
- příklady užití l´Hospitalova pravidla; "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech.
- vyšetřování globálních extrémů funkce, příklady ;
12.11.2014:
- vyšetřování globálních extrémů funkce, příklady ;
- příklady užití l´Hospitalova pravidla; "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech;
- Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a a Taylorova věta; chování zbytku v Taylorově vzorci pro x→a, Lagrangeův tvar zbytku;
- příklad - Taylorův polynom n-tého stupně v bodě a=0 funkce exp(x). sin x. cos x; odhad chyby v aproximaci exp(1);
19.11.2014 :
- užití diferenciálního počtu k přibližnému řešení rovnice f(x)=0 - metoda půlení intervalu a Newtonova metoda tečen;
- vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, llimita, spojitost, derivace, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady.
24.11.2014
- Reálná funkce dvou proměnných - příklady, stručné seznámení se základními pojmy - definiční obor, limita, spojitost, parciální derivace; odvození rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných v bodě (x₀,y₀, f(x₀,y₀) ) a lineární aproximace funkce f v okolí bodu (x₀,y₀) , má-li daná funkce v bodě (x₀,y₀) spojité parciální derivace; totální diferenciál, gradient funkce.
26.11.2014 :
- Úvod do integrálního počtu : příklady užití "antiderivování" - odvození vztahu pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu; harmonické kmity; souvislost "antiderivování" s "plochou" pod grafem funkce; hledání řešení rovnice radioaktivního rozpadu;
- definice primitivní funkce k dané funkci , přehled základních primitivních funkcí;
- věta o existenci primitivní funkce (bez důkazu), množina primitivních funkcí k dané funkci na intervalu, spojitost primitivní funkce, neurčitý integrál;
- věty o integraci součtu funkcí a násobku funkce, příklady;
1.12.2014 :
- věty o substituci v neurčitém integrálu; příklady.
- integrace per partes, příklady;
3.12.2014 :
- integrace racionálních funkcí - rozklad racionální funkce na jednoduché zlomky, integrace jednoduchých zlomků, příklady;
- integrály funkcí, které se vhodnými substitucemi převedou na integraci funkcí racionálních;
8.12.2014 :
- integrace racionálních funkcí - opakování a shrnutí, příklady;
- integrály funkcí, které se vhodnými substitucemi převedou na integraci funkcí racionálních;
- diferenciální rovnice prvního řádu,počáteční úloha; jednoduché příklady;
10.12.2014 :

rovnice se separovatelnými proměnnými, obecné řešení, řešení počáteční úlohy; kdy nastávají "skluzy" řešení; příklady;
lineární diferenciální rovnice 1.řádu - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy( bez důkazu); rovnice bez pravé strany; řešení rovnice s pravou stranou metodou variace konstant; příklady;

15.12.2014:

obyčejné diferenciální rovnice 1.řádu s pravou stranou - metoda variace konstant; příklady;příklady aplikace diferenciálních rovnice prvního řádu;
určitý integrál - definice Newtonova integrálu;
definice Riemannova integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence;
Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu; Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu;
základní vlastnosti R-integrálu: linearita, aditivita,odhady; věta o střední hodnotě integrálního počtu;

17.12.2014 :

odhady Riemannova integrálu a věta o střední hodnotě integrálního počtu;
integrace per partes a substituce v případě určitého integrálu;
aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa, "délky" grafu funkce, odvození a příklady; fyzikální aplikace - velikost dráhy pohybu při proměnné rychlosti, práce proměnné síly;
úvod k poslední části probírané látky - čím se zabývá lineární algebra.

5.1.2015:

soustavy lineárních rovnic - na příkladech Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy; příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení;
na jednoduchém příkladu odvození zápisu soustavy pomocí násobení matice vektorem ( a pak definice násobení matice a vektoru, násobení matic); nalezení řešení soustavy ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a tedy nalezení inverzní matice ke čtvercové matici a pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice;
nakonec obecné shrnutí toho, co bylo ukázáno na příkladech - definice uvedených pojmů a otázky, týkající se řešitelnosti rovnic.

7.1.2015 :

vektorový prostor, spec. n-rozměrný aritmetický prostor Rⁿ, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, base a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k basi, base a dimense prostoru R^n;
ještě matice - sčítání a násobení matic, ekvivalentní úpravy matice, hodnost matice, regulární a singulární čtvercová matice;
Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic;

determinant čtvercové matice - pouze úvod - determinant matice typu (2,2) , Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy dvou rovnic pro dvě neznámé s regulární maticí.

Přednášku o determinantech těm studentům, kteří už nebudou pokračovat v MA2, nabídnu na začátku letního semestru.

Cvičení - paralelka 04

Cvičení - pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

limita a spojitost funkce
průběh funkce - několik řešených příkladů
neurčitý integrál
diferenciální rovnice

1.10.2014 : Informace o cvičení, podmínky pro získání zápočtu - účast na cvičeních ( 4 absence mohou být neomluvené); vypracování domácích úkolů v dohodnutém termínu;
získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru.
Opakování středoškolské matematiky - výběr příkladů - opakování 1 a opakování 2
Domácí úkol : 1.a nebo 1.b
6.10.2014 : Ještě opakování - funkce a jejich vlastnosti, grafy funkcí, absolutní hodnota reálného čísla, řešení rovnic a nerovnic (příklady z minulého cvičení).
8.10.2014 : Pokračujeme v opakování - viz minulé cvičení.
13.10.2014: Ještě opakování - funkce a jejich vlastnosti a grafy; řešení rovnic a nerovnic; inverzní funkce; jednoduché důkazy.
15.10.2014 : Opakování funkcí exponenciálních, logaritmických .
20.10.2014: Opakování goniometrických funkcí (příklady z cvičení 1.) , opět řešení nerovnic , zvláště kvadratických,se zlomky a s absolutní hodnotou.
22.10.2014: Poznámky k chybám v domácích úkolech - opět řešení nerovnic, definiční obory funkcí; úvod do opakování analytické geometrie ( počítání s vektory, vyjádření přímky, rovnice roviny, rovnice kružnice): příklady analytická geometrie .
Domácí úkol : du - analytická geometrie ( odevzdat do středy 29.10.)
27.10.2014 - plán: Opakování analytické geometrie; limity intuitivně a výpočet jednoduchých limit : příklady-limita funkce .
Domácí úkol : du - limita funkce ( odevzdat do pondělí 10.11.)
29.10.2014: Ještě limity funkcí i funkcí cyklometrických ( příklady z minulého cvičení) dále pak výpočet derivací - výběr příkladů : derivace funkce, užití derivace .
domácí úkol ( zatím pro "pokročilé počtáře", ostatní mohou počítat v souladu s počítáním na cvičení): du - derivace funkce a některé aplikace derivace ( odevzdat do středy 19.11.)
3.11.2014: Stále ještě počítání limit a derivací funkce.
5.11.2014: Ještě počítání limit složených funkcí, zvláště s cyklometrickými funkcemi, výpočet derivací "složitějších" funkcí.
10.11.2014 - plán: Užití derivace funkce - rovnice tečny, užití diferenciálu, lineární aproximace funkce, L´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit (příklady viz cvičení 29.10.) , průběh funkce.
Domácí úkol: du - průběh funkce (odevzdat do pondělí 24.11.)
12.10.2014 : Výpočet derivací složitějších funkcí, výpočet limit pomocí L´Hospitalova pravidla, průběh funkce.
19.11.2014 : "Testík" z limit. Výpočet limit pomocí L´Hospitalova pravidla, derivace ve "špatných" bodech.
24.11.2014 : Globální extrémy funkce , Taylorův polynom, užití diferenciálu funkce, vektorová funkce jedné proměnné.
26.11.2014 : Testík z derivací; globální extrémy funkce; užití diferenciálu funkce; funkce dvou proměnných, příklady- fce dvou proměnných.
1.12.2014 : Vektorová funkce jedné proměnné; neurčitého integrál - základní jednoduché úlohy. Výběr příkladů - neurčitý integrál 1
3.12.2014 : Neurčitý integrál -integrace per partes i pomocí substituce; integrace jednoduchých zlomků. Výběr příkladů - neurčitý integrál 2 .
Domácí úkol: du - neurčitý integrál ; navíc můžete vyzkoušet Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
8.12.2014: Vektorové funkce jedné proměnné; neurčitý integrál -integrace per partes i pomocí substituce.
10.12.2014: Funkce dvou proměnných, výpočet parciálních derivací; neurčitý integrál -integrace per partes ; integrace racionální funkce ; substituce, vedoucí na integraci racionální funkce.
15.12.2014: Ještě integrace racionální funkce ; substituce, vedoucí na integraci racionální funkce. Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.
17.12.2014: Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými a lineární diferenciální rovnice 1.řádu.
Domácí úkol: du - diferenciální rovnice
5.1.2015: Funkce dvou proměnných, výpočet parciálních derivací. Určitý integrál-výpočet, aplikace. Výběr příkladů - určitý integrál.
7.1.2015 : Aplikace určitého integrálu. Lineární algebra - řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou; matice, inverzní matice; vektorový prostor, závislost a nezávislost vektorů, báze;
Domácí úkol: lineární algebra - nepovinný domácí úkol ( výběr příkladů, které byste měli zvládnout; determinanty si zkuste zvládnou sami ( i když se nezkouší) , nebo počkejte na MA2) .