Matematika A1, ZS 2016/17

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7.dubna 1348

 

Sylabus a literatura - SIS

Požadavky ke zkoušce  a  Upřesněné požadavky ke zkoušce 

Ukázka zkouškového testu. 

Zkouškové termíny budou v SISu

 Konzultační hodiny: zatím  v pondělí 8:00 - 9:30 a ve středu 14:30 - 15:30 v pracovně (209, Albertov 6), nebo po dohodě ( osobně, e-mailem, telefonem).
 Konzultační hodiny ve zkouškovém období:   

 

Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
• skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   L.Hermann;  R.Mařík
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 
  
  

 Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.  
• VUT Brno.

K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
•  J. Petáková: Matematika
  
  

Úvodní soustředění - Horní Poříčí:

• Opakovací "test" ze soustředění v Horním Poříčí  zde .
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde .
• Stručné materiály k opakování středoškolské matematiky  - od paní doktorky Jany Rubešové zde . 
• Dotazníček zde.  
  
  

 

Přednáška   -    pondělí  9:50 - 11:20 (CH1)   a  středa  12:20 - 13:50  (CH1)
                          (a přednáška je ještě doplněna Repetitoriem MA1 - středa 16:30 - 18:00 (CH4))

• 3.10.2016:
• úvod - proč studovat matematiku, matematika jako jazyk přírodních věd (Galileo Galilei, Issak Newton, Gottfried Leibniz);
• hezké čtení:    Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
                         John.D.Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)   
                         Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
                         Ian Stewart: Matematika života (Odkrývání tajemství bytí) (Academia 2014, edice Galileo)
• stručně o obsahu přednášky - čím se zabývá diferenciální počet,  integrální počet a dále lineární algebra, jejíž  základy také budeme studovat;  
• několik poznámek k doporučené literatuře;
• jak je výuka organizována - přednáška, cvičení, repetitorium MA1, konzultace; 
• o zápočtu a zkoušce.
• 5.10.2016:
  
  • ještě k  obsahu přednášky -  trošku o "nekonečnu";  
• co je třeba dobře znát ze středoškolské matematiky - stručné připomenutí těch partií, které budeme potřebovat  (podrobněji na  cvičeních nebo na repetitoriu MA1):
           jazyk matematiky - výrok, definice, matematická věta a její důkaz, metody důkazů;
           základní poznatky z množinového počtu;
           číselné obory N, Z, Q a R; 
           reálná funkce jedné reálné proměnné -  základní pojmy: definiční obor a obor hodnot funkce; funkce lichá, sudá, periodická, monotonní;
           funkce prostá a  funkce inverzní k prosté funkci; funkce složená; grafy funkcí; elementární funkce.  
• úvodní úvahy o limitě funkce , k čemu mohou pomoci limity funkce;
• intuitivně  "druhy" limit pomocí grafů známých elementárních funkcí - pojmenování a označení limit ; jednostranné limity; spojitost funkce v bodě;
• shrnutí  - pokus o graf funkce exp(1/x) 
• 10.10.2016:
• ještě další pokusy - grafy funkcí pomocí "odhadu" limit;
• vzdálenost v R;
• jak se "dojde" k definicím limit  (a k tomu poznámka o kvantifikátorech); 
• definice nevlastní limity v nevlastním bodě a  jednoduchý příklad důkazu limity dle definice;
• definice vlastní limity v nevlastním bodě, příklad důkazu takové limity dle definice.
• 12.10.2016:
• pokračování v definicích limit - definice nevlastní limity ve vlastním bodě a  vlastní limity ve vlastním bodě (i jednostranných limit), jednoduché příklady důkazu limity dle definice; 
• spojitost (resp. jednostranná spojitost) funkce v bodě a v intervalu;
• definice limit s užítím okolí bodu;
• "pravidla" pro výpočet limit -   zatím jen limita součtu dvou funkcí a neurčitý výraz  -  rozdíl "nekonečen".
• 17.10.2016:
• aritmetika limit  - věta o limitě součinu a podílu funkcí, příklady; "neurčité výrazy";
• věta o limitě složené funkce;
• příklady výpočtu limit, zvláště limity "neurčitých výrazů" a  složených funkcí; 
• věta o limitě sevřené funkce a její modifikace pro nevlastní limitu;
• 19.10.2016:
• ještě nějaké příklady na užití věty o limitě složené funkce a věty o limitě sevřené funkce; 
• užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu "užitečné" limity funkce  sin x / x  v bodě x₀=0.
• 24.10.2016:
• spojitost, součtu, součinu a podílu funkcí; věta o limitě, resp.spojitosti, složené funkce;
• jak se ukáže, že funkce limitu v daném bodě limitu nemá,  nebo že funkce  není v daném bodě spojitá - souvislost  limity  a limit jednostranných;
• uspořádání limit; limita monotonní funkce; 
• posloupnost; limita posloupnosti; 
• nekonečná řada - konvergentní, resp. divergentní řada, jednoduché příklady; jak se dá vyšetřit konvergence, resp. divergence nekonečné řady - poznámka o kriteriích  konvergence a jednoduché příklady;
• definice derivace funkce v bodě ; několik příkladů  výpočtu derivací funkcí v bodě;
• 26.10.2016 - přednáška měla být  v 16:30 v posluchárně B14. ale nekonala se (v posluchárně B14 byla habilitační přednáška) , tedy plánovaná látka bude probrána až na další přednášce 31.10.2016.
  Přednáška z 26.10. bude nahražena ve středu 2.11.2016, v 16:30 v posluchárně B14.
• 31.10.2016: 
• derivace jako funkce a  pak  odvození derivací elementárních funkcí.   
• pravidla pro výpočet derivace součtu, součinu a podílu funkcí, derivace funkce složené;
• věta o souvislosti vlastní derivace a spojitosti funkce v bodě;
• příklady výpočtu derivací;
• "dopočítávání" derivací funkce v bodech, kde nelze derivovat "dle pravidel"  výpočtu derivací  pomocí definice derivace.
• 2.11.2016:
• derivace funkce složené z více než dvou funkcí a derivace funkce f(x)^g(x), příklady;
• připomenutí pojmu  inverzní funkce, spojitost , limita  a derivace inverzní funkce; 
• definice cyklometrických funkcí a jejich vlastnosti; odvození derivace funkcí arcsin x a arctg x;
• příklady výpočtu limit a derivací funkcí, které "obsahují" i funkce cyklometrické;
• užití derivace  funkce v bodě -  tečna ke grafu funkce; diferenciál funkce; lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; příklady.
• 2.11.2016 - náhradní přednáška v 16:30 v posluchárně B14 (Benátská 2) za přednášku 26.11.2016. která se nemohla konat: 
• pokus o vyšetření vlastností funkce f(x)= x² e^-x  , co "umíme" a co ne;
• l´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit funkcí; příklady užití l´Hospitalova pravidla;
• užití derivace při vyšetřování vlastností funkce  v intervalu - souvislost znaménka první derivace a monotonie funkce v intervalu; lokální extrém funkce, nutná  podmínka lokálního extrému, postačující podmínky pro lokální extrém;
• derivace vyšších řádů;
• užití derivace druhého řádu při  vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body); 
• dokončení vyšetření funkce f(x)= x² e^-x .
• 7.11.2016:
• zopakování  přednášky,  která se konala minulou středu  2.11. v 16:30  za velmi malé účasti posluchačů.
• 9.11.2016:
• shrnutí  vyšetřování průběhu funkce, doplnění o asymptoty grafu; další příklady vyšetřování  průběhu funkce; 
• užití Hospitalova pravidla - věta o  "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech, příklady;
• Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a  a Taylorova věta; chování  zbytku v Taylorově vzorci pro x→a, Lagrangeův tvar zbytku.
• 14.11.2016:
• příklad - Taylorův polynom n-tého stupně v bodě a=0  funkce exp(x), sin x, cos x; odhad chyby v aproximaci exp(1);
• poznámka o Taylorově řadě pro funkce exp(x), sin x, cos x;
• vyšetřování globálních extrémů funkce, příklady.
• Rolleova věta , Lagrangeova věta o střední hodnotě (i  důkaz) a její důsledky - důkaz věty o souvislosti  znaménka derivace a monotonie funkce na intervalu;
• věta o "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech - důkaz užítím věty o střední hodnotě;
• úvod do integrálního počtu : příklady užití "antiderivování" - odvození vztahu pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu; harmonické kmity; 
• 16.11.2016:
  • a ještě k úvodu do integrálního počtu: další příklady užití "antiderivování" -  souvislost "antiderivování" s "plochou" pod grafem funkce; hledání řešení rovnice radioaktivního rozpadu;
• definice primitivní funkce k dané funkci na intervalu, "tabulka" základních primitivních funkcí ;
• věta o existenci primitivní funkce (bez důkazu), množina primitivních funkcí k dané funkci na intervalu, spojitost primitivní funkce, neurčitý integrál;
• příklady - primitivní funkce k funkci 1/x  na intervalu (-∞,0)  a  k funkci absolutní hodnota x v R;
• věty o integraci součtu funkcí a násobku funkce, příklady;
• integrace per partes, příklady;
• nabídka náhradního cvičení v pondělí 21.11.2016 v 8:00 v posluchárně  Dmuchavka, Albertov 6, 1.poschodí .
• 21.11.2016:
  • integrace per partes - další příklady;
  • věty o substituci v neurčitém integrálu; příklady.
• 23.11.2016:
  • integrace racionálních funkcí - rozklad racionální funkce na jednoduché zlomky, integrace jednoduchých zlomků;
  • příklady integrace racionálních funkcí.
• 28.11.2016:
  • integrály funkcí, které se vhodnými substitucemi převedou na integraci funkcí racionálních, příklady.
• 30.11.2016:
• integrace funkcí racionálních v sinx a cosx - vhodné substituce a příklady; "slepování" promitivní funkce;
• určitý integrál -  definice Newtonova integrálu; příklady užití - délka dráhy pohybu při proměnné rychlosti;
• existence a vlastnosti N-integrálu, výpočet N-integrálu pomocí per partes a substituce;
• 5.12.2016: 
• definice Riemannova integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence; 
• Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu;  Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu;
• základní vlastnosti R-integrálu: linearita, aditivita, uspořádání;
• integrace per partes a substituce v případě určitého integrálu;
• odhady Remannova integrálu; věta o střední hodnotě integrálního počtu;
• aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu plochy "mezi" grafy dvou funkcí, objemu rotačního tělesa, "délky" grafu funkce, odvození a příklady; 
  fyzikální aplikace -  práce proměnné síly.
•  7.12.2016:
• diferenciální rovnice - úvod;
• diferenciální rovnice  - formulace počáteční úlohy , příklady odvození diferenciálních rovnic;
• diferenciální rovnice 1.řádu, spec.rovnice se separovatelnými proměnnými -  obecné řešení, řešení počáteční úlohy; kdy nastávají "skluzy" řešení;
• příklady řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými  proměnnými.
•  12.12.2016:
• diferenciální rovnice 1.řádu se separovatelnými proměnnými - shrnutí a další příklady;
• počáteční úloha pro   diferenciální rovnice 1.řádu (obecně) - řešení, maximální řešení. směrové pole, izokliny;
• lineární diferenciální rovnice 1.řádu - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy( bez důkazu);
• řešení lineární rovnice 1.řádu bez pravé strany; řešení rovnice s pravou stranou metodou variace konstant;  
• 14.12.2016:
• příklady řešení  lineární rovnice prvního řádu;
• úvod k poslední části  probírané látky - čím se zabývá lineární algebra;
• vektorový (lineární) prostor, příklady vektorových postorů, spec. n-rozměrný aritmetický prostor Rⁿ;
• soustava lineárních rovnic  - opakování "středoškolských" metod řešení, a pak zápis soustavy pomocí matice.
• 19.12.2016:
• soustavy lineárních rovnic  - na příkladech Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení;
• definice násobení matice a vektoru, "nový" zápis soustavy lineárních rovnic; 
• násobení matic, definice inverzní matice ke čtvercové matici;
• soustavy lineárních rovnic - pokračování: nalezení řešení soustavy, zapsané ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, tedy nalezení  inverzní matice ke čtvercové matici a pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice;
• shrnutí toho, co bylo ukázáno na příkladech při řešení soustav lineárních rovnic - definice uvedených pojmů a otázky, týkající se řešitelnosti rovnic
• vektorový prostor -  lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů; definice báze a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi,
  báze a dimense prostoru R^n.
• 21.1.2016:
• ještě matice -  hodnost matice, regulární a singulární  čtvercová matice; inverzní matice k matici regulární;
• Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic;
• determinant čtvercové matice 2.řádu - odvození ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé.
• 4.1.2017 (poslední přednáška):
• definice determinantu (indukcí -  rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce);
• vlastnosti a výpočet  determinantu;
• Cramerovo pravidlo pro řešení čtvercové soustavy rovnic;
• další užití determinantu;
• prostory R² a R³  - definice, připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin, v prostoru R³ navíc vektorový součin), velikost ( norma) vektoru, vzdálenost v prostorech R² a R³; 
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, limita, spojitost, derivace, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
• reálná funkce dvou  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor; jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných;
• reálná funkce dvou  proměnných -  limita, spojitost, parciální derivace; odvození rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných v bodě  (x₀,y₀, f(x₀,y₀) ), funkce diferencovatelná v bodě (x₀,y₀) , totální diferenciál funkce, gradient;
• lineární aproximace funkce f v okolí bodu (x₀,y₀) , má-li  daná funkce v bodě (x₀,y₀) spojité parciální derivace;
• parciální derivace vyšších řádů, záměnnost smíšených parciálních derivací; diferenciál druhého řádu;
• Náhradní přednáška za přednášky 26.11. 2016 a 2.1.2017 - pokud bude zájem - v době posledního repetitoria:
• lineární zobrazení R_n do R_m a jeho vyjádření pomocí matice; příklady lineárních zobrazení R_n do R_m , příklady;
• vlasní čísla a vlastní vektory čtvercové matice;
• Rolleova věta , Lagrangeova věta o střední hodnotě (i  důkaz) a její důsledky - důkaz věty o souvislosti  znaménka derivace a monotonie funkce na intervalu;
• a jiné "zajímavosti", související s látkou, probranou v ZS.

   

Cvičení - paralelka 02  (středa 9:50 - 11:20 v CH8 a čtvrtek 14:50 - 16:20 v CH2)

• 5.10.2016: Informace o cvičení, podmínky pro získání zápočtu -  účast na cvičeních ( 4 absence mohou být neomluveny);  vypracování domácích  úkolů v dohodnutém termínu;  
   získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru.
   Opakování středoškolské matematiky -  výběr příkladů -  opakovací test  z Horního Poříčí, dále  opakování 1  a  opakování 2    
  
•  6.10.2016:  Ještě opakování - funkce a jejich vlastnosti, grafy funkcí.
• 12.10.2016: Ještě opakování  -  funkce a jejich vlastnosti, grafy funkcí, intuitivně limity .
  Limita funkce - intuitivně i dle definice, cvičení "zápisu" i "čtení" definic limit. 
  Domácí úkol:   du1 - opakování  (do středy 19.10.) nebo můžete odevzdat místo tohoto domácího úkolu opakovací test z Horního Poříčí, pokud jste si ho spočítali (příklady bez hvězdiček stačí).
  Domácí úkol dobrovolný: du2 - analytická geometrie 
• 13.10.2016 - imatrikulace (Cvičení se po imatrikulaci bude konat pro  ty posluchače, kteří na cvičení přijdou. Pro ostatní posluchače a hosty bude cvičení ještě v pátek 14.10. v 8:10 v posluchárně Mineralogie, Albertov 6, 1. patro) - plán: Ještě opakování - absolutní hodnota reálného čísla, řešení rovnic a nerovnic (příklady z prvního cvičení), funkce a jejich vlastnosti (zvláště funkce monotonní na množině M), pojem funkce inverzní s příklady. Dále limita funkce -  definice, cvičení "zápisu" i "čtení" definic limit, ověřování limit dle definice. 
• 19.10.2016:   Limita funkce -  definice, cvičení "zápisu" i "čtení" definic limit, ověřování limit dle definice (jednoduché příklady). Výpočet limit  ( aritmetika limit, limita složené funkce, věta o limitě sevřené funkce, neurčité výrazy) ; spojitost funkce. Příklady - limita funkce  
  Domácí úkol:   du3 - limita funkce   (do čtvrtka 3.11.)
• 20.10.2016: Ještě výpočet limit (příklady z minulého cvičení).
• 24.10.2016 - náhradní cvičení a pro zájemce: Výpočet limit funkce.
• 26.10.2016:  Limity funkcí.
• 27.10.2016:  Ještě počítání limit složených funkcí, i s  cyklometrickými funkcemi;  výpočet  derivací "složitějších" funkcí (příklady z minulého cvičení). Užití derivace funkce - rovnice tečny, užití diferenciálu, lineární aproximace funkce  (příklady viz cvičení 26.10.)
• 31.10.2014 - náhradní cvičení a pro zájemce  (v 8:10 v posluchárně "Dmuchavka", Albertov 6): Limity funkcí, limity posloupností, derivace funkce - definice a výpočet derivací z definice; cyklometrické funkce.
•  2.11.2016:  Posloupnosti, limita posloupnosti a pokus o vyšetření konvergence nekonečné řady.  Příklady - limita posloupnosti(lehčí) a  limita posloupnosti (těžší) ; a hlavně derivace funkce - definice a výpočet derivací. Výběr příkladů (výpočet  a užití derivací)  : derivace funkce, užití derivace . 
•  3.11.2016:  Výpočet  derivací "složitějších" funkcí (příklady z minulého cvičení).
•  9.11.2016:  Zápočtový testík - limity.  Dále - výpočet derivací "složitějších funkcí" .užití derivace funkce - rovnice tečny, užití diferenciálu, lineární aproximace funkce. 
  Domácí úkol:   du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace  ( odevzdat do středy 16.11.)
• 10.11.2016: Užití derivace funkce - rovnice tečny, užití diferenciálu, lineární aproximace funkce, Taylorův polynom. Vyšetřování průběhu funkce - příklady ze cvičení 2.11..
• 16.11.2016:  Výpočet limit užitím L´Hospitalova pravidla .
  Domácí úkol:  du5 - průběh funkce  ( do 24.11.)
• 21.11.2016 - náhradní cvičení za 17.11. - plán: Ještě vyšetřování průběhu funkce  a další užití derivace funkce - rovnice tečny, diferenciál, lineární aproximace funkce, Taylorův polynom - příklady ze  2.11.  Jednoduché příklady výpočtu primitvních funkcí.
• 23.11.2016: Testík z derivací. Vyšetřování globálních extrémů funkcí.  Výpočet primitivních funkcí - jednoduché příklady na začátek. Výběr příkladů - neurčitý integrál 1 , neurčitý integrál 2  .
• 24.11.2016: výpočet neurčitých integrálů  - metoda per partes i substituce.
• 30.11.2016: metoda per partes i substituce - další příklady,integrace racionální funkce.
  další užití derivace funkce - rovnice tečny, diferenciál, lineární aproximace funkce, Taylorův polynom - příklady ze 2.11..
  Domácí úkol: du6 - neurčitý integrál ;  navíc můžete vyzkoušet  Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
• 1.12.2016:  integrace racionální funkce ; substituce, vedoucí na integraci racionální funkce; další užití derivace funkce - rovnice tečny, diferenciál, lineární aproximace funkce, Taylorův polynom - příklady ze 2.11. A ještě pro kontrolu  toho, co máte zvládnou z výpočtu neurčitých integrálů - několik  "jednoduchých" příkladů  zde  .
• 7.12.2016: Ještě výpočet integrálů pomocí substituce, vedoucí na integraci racionální funkce. 
• 14.12.2016 - plán: Určitý integrál-výpočet, aplikace. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými.  Výběr příkladů - určitý integrál.  a diferenciální rovnice
  Domácí úkoly:  du7 - určitý integrál   a   du8 - diferenciální rovnice

 

Cvičení - pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

1.  limita a spojitost funkce
2.  průběh funkce - několik řešených příkladů
3.  neurčitý integrál
4.  diferenciální rovnice