Matematická analýza pro informatiky 2 - ZS 2023/24

• u doc. M. Lopatkové (UFAL)
  
• ve sbírce KAM
• ve cvičeních docenta Roberta Šámala (IUUK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)

 

A třeba by se mohlo hodit i podívat se na stránky 

• PřF  - LS  - Matematika A2
• PřF -  LS  - Rozšíření matematiky A1
  
  

Konzultační hodiny během semestru:

       pondělí 10:00 -12:00 na chodbě v 1.poschodí budovy MFF, Malostranské náměstí;
       úterý  13:00 - 14:00  na chodbě ve 2.poschodí budovy MFF, Malostranské náměstí;
       a po dohodě  ( e-mailem krylova@kam.mff.cuni.cz   nebo  krylova@natur.cuni.cz  nebo na 604 268 425)
Konzultační hodiny ve zkouškovém období:

      vždy v pondělí 9:00 - 12:00 buď v posluchárně S10, pokud je volná, nebo na chodbě KAMu (tj. Katedry aplikované matematiky) ve druhém poschodí, nebo i jindy "po dohodě".

Podmínky zápočtu:
      1.  Odevzdání aspoň sedmi domácích úkolů z těch, co budou zadány ke cvičením, dú 9 je k zápočtu ale povinný. 
      2.  Aspoň polovina bodů ze závěrečného zápočtového testu. 

Termíny zápočtových testů:

 

  1.  pátek 5.1. od 11:00; 

 sobota 6.1. od 10:00,  pátek 12.1. od 14:00 a sobota 13.1. od 10:00, vždy v posluchárně S10.
Další termíny testu ve zkouškovém období:
   pátky: 19.1. od 11:00, dále 22.1., 26.1., 2.2., 9.2., vždy od 10:00 v S10.

 

 

 

Příklady, probírané na cvičeních:

1. cvičení 

• 2.10.2023 (p06) :  úvodem návrh "organizace" cvičení (zvláště "sladění"cvičení s přednáškou, podmínky zápočtu; a protože je cvičení před přednáškou, tak dále jsme opakovali (dle přání posluchačů)  některé důležité pojmy z MAI1;  pak krátký úvod do analýzy funkcí více proměnných a potřebnosti metriky (jako příklad metriky v prostoru R²  ( Rⁿ ));
  
• 3.10.2023 (p03):  stejně jako v p06 návrh "organizace" cvičení a podmínek zápočtu; pak dle přání posluchačů opakování některých důležitých pojmů z MA1 a dále metrické prostory -  připomenutí definic základních pojmů: metrika, příklady metrik v prostorech Rⁿ , spec. v R² ; vlastosti podmnožin metrických prostorů  - množina otevřená, resp. uzavřená v metrickém prostoru; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru, hromadné body množiny, hraniční body, uzávěr množiny, příklady.

       Výběr příkladů: metrické prostory zde  - i k promyšlení a přípravě na příští cvičení.  
       Domácí úkol:  
           dú - opakování   "dobrovolný"  
                (tento domácí úkol můžete poslat e-mailem, nejlépe do pátečního rána (6.10.), pokud ho budete chtít mít "opravený" do příštího cvičení, nebo na příštím cvičení pak odevzdat.
                 Ale můžete si opakovat  MAI 1 i "pomaleji"  a  úkol odevzdat i později);
           dú 1 - metrické prostory 
                (p03 - tento domácí úkol můžete poslat emailem do pondělí 9.10. (do rána), bude pak snad opravený do následujícího cvičení, nebo úkol pak můžete odevzdat na cvičení
                          v úterý 10.10., nebo, pokud budete mít nějaké otázky k řešení, do pátku 13.10. ;
                 p06 - domácí úkol zkuste promyslet do cvičení v pondělí 9.10. , a pak "sepsat" a poslat emailem do  pátečního rána (13.10.), pokud ho budete chtít mít "opravený"
                         do příštího cvičení, nebo pak na příštím cvičení odevzdat. )

2. cvičení

• 9.10.2023 (p06): metrické prostory -  zopakování definic základních pojmů: metrika, vlastosti podmnožin metrických prostorů - množina otevřená, resp. uzavřená v metrickém prostoru; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru, hromadné body množiny, hraniční body, uzávěr množiny. Dále příklady metrických prostorů a metrik v těchto metrických prostorech; vyšetřování vlastností podmnožin daných metrických prostorů, a konvergence v těchto metrických prostorech, malý úvod k vyšetřování funkcí více proměnných.
• 10.10.2023 (p03): metrické prostory - příklady a problémky (i dle přání posluchačů) z příkladů, zadaných ve cvičení 1., zopakování definic základních pojmů z metrických prostorů,  příklady konvergence v metrických prostorech. Dále reálné funkce více proměnných  ( f : R^m → R ) a opakování základních pojmů - definiční obor funkce, limita, vyšetření spojitosti funkce, výpočet parciálních derivací, totální diferenciál funkce a jeho významu a užití.
  Výběr příkladů: funkce více proměnných 1 zde ( i pro cvičení 3)
  Domácí úkol:    dú2 - funkce více proměnných 1   
      (úkol můžete poslat emailem kdykoliv do rána v pátek 20.10., nebo přinést na cvičení v pondělí 23.10. (p06) nebo v úterý 24.10. (p03) 
      Oprava: vzhledem k tomu, že jsme vše, co je třeba k dú2, nestačili na 3. cvičení probrat, můžete odevzdat tento úkol až do 4.cvičení  (p06 do pondělí 23.10., p03 do úterý 24.10.
   

3. cvičení

• 16.10.2023 (p06): poznámky k řešení dú1 (metrické prostory) zabraly více času, tak potom dále jen (dle poslední přednášky) reálné funkce více proměnných  ( f : R^m → R ) a opakování základních pojmů - definiční obor funkce, limita, vyšetření spojitosti funkce, výpočet parciálních derivací a totální diferenciál funkce a jeho významu a užití bude příště. Příklady z minulého cvičení funkce více proměnných 1 zde .
• 17.10.2023 (p03):  též poznámky k řešení domácích úkolů; dále funkce více proměnných -  ještě limity, spojitost, výpočet parciálních  derivací,  totální diferenciál funkce více proměnných a jeho užití; 
  Výběr příkladů: příklady z minulého cvičení funkce více proměnných 1 zde , a  funkce více proměnných 2 (i pro příští cvičení)   ( zde ).
  Domácí úkol: zůstává ještě   dú2 - funkce více proměnných 1  a můžete, chcete-li, řešit i
     "dobrovolný" domácí úkol 3:  dú 3 - funkce více proměnných 2 
      Oba úkoly můžete poslat emailem do pátku 27.10. nebo je můžete přinést i na cvičení 30.10. (p06), resp. 31.10. (p03).
  
  

4. cvičení

• 23.10.2023 (p06): poznámky k řešení dú2, a odtud a i vzhledem k otázkám posluchačů ještě opakování a shrnutí základních pojmů o reálných funkcích více  proměnných  ( f : R^m → R ) - definiční obor funkce, limita, neexistence limity, vyšetření spojitosti funkce, výpočet parciálních derivací funkce, totální diferenciál funkce a jeho významu a užití bude příště. Příklady z minulého cvičení funkce více proměnných 1 zde .
• 24.10.2023 (p03):  též poznámky k řešení domácích úkolů; dále funkce více proměnných -  ještě limity, spojitost, výpočet parciálních  derivací,  totální diferenciál funkce více proměnných a jeho užití.
   
  Výběr příkladů: příklady z minulých cvičení -  funkce více proměnných 1 zde , a  funkce více proměnných 2 (i pro příští cvičení)   ( zde ).
  Domácí úkol: zůstávají ještě   dú2 - funkce více proměnných 1  a dobrovolný dú 3 - funkce více proměnných 2 .
      Úkoly stačí odevzdat do příštího cvičení nebo i přinést na cvičení.
  
  

5. cvičení:

• 30.10.2023 (p06): poznámky k řešení dú2 a dú3, a odtud a i dle otázek posluchačů ještě zopakování, co "znamená", že funkce více proměnných má totální diferenciál, nutné i postačující podmínky proto, aby funkce měla v bodě totální diferenciál, užití totálního diferenciálu. Dále výpočet parciálních derivací složených funkcí užitím "řetězového pravidla". Potom ještě limita, spojitost, parciální derivace i totální diferenciál funkcí f : R^m → Rⁿ a řetězové pravidlo pro tyto funkce.  
• 31.10.2023 (p03): Též poznámky k řešení domácích úkolů; dále funkce více proměnných - užití řetězového pravidla pro výpočet derivací složených funkcí . Úvodní úvahy o funkcích zadaných implicitně.
    
  Výběr příkladů :  funkce více proměnných 2  ( zde ) a i pro příští cvičení  funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde .
  A  zde je několik řešených příkladů: funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ; funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
  Domácí úkol:  dú 4 - funkce více proměnných 3  -  stačí odevzdat do příštího cvičení 6.11. (p06), resp. 7.11. (p03) ;
  a můžete už řešit i  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do  cvičení 20.11. (p06), resp. 21.11. (p03) .
  
  

6. cvičení:

• 6.11.2023 (p06): Poznámky k řešení 4. domácího úkolu, podrobně "probráno" řešení přikladu prvního. Dále pak výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů) složených funkcí užitím "řetězového pravidla" a vyšetřování vektorových funkcí více proměnných  f : Rⁿ → R^m  - limita, spojitost, parciální derivace, funkce f : Rⁿ → R^m má totální diferenciál (příklady z výběru příkladů Funkce více proměnných 2);
  dále  funkce vektorové, definované implicitně soustavou rovnic (příklady, i řešené, jsou v minulém cvičení)  a úvodní příklady vyšetřování extrémů funkcí dvou proměnných. Opakování věty o implicitní funci jedné proměnné. a úvodní příklady k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně;  další příklady užití této věty  - aproximace funkce jedné proměnné, definované implicitně, Taylorovým polynomem a dále odvození rovnice tečny ke křivce, dané rovnicí F(x,y)=0. A dle přednášky opakování věty o implicitní funci  více proměnných a  příklady užití této věty (pro implicitní funkce dvou proměnných.
• 7.11.2023 (p03):  též poznámky k řešení domácích úkolů; dále funkce více proměnných - ještě užití řetězového pravidla pro výpočet derivací složených funkcí, i vyšších řádů; a dále (stejně jako v p06) opakování věty o implicitní funci jedné proměnné a příklady k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně a další užití této věty  - aproximace funkce jedné proměnné, definované implicitně, Taylorovým polynomem a dále odvození rovnice tečny ke křivce, dané rovnicí F(x,y)=0. A dle přednášky opakování věty o implicitní funci  více proměnných a  příklady užití této věty (pro implicitní funkce dvou proměnných.
  
  Výběr příkladů :  (z minulého cvičení)  funkce více proměnných 2  ( zde ) a funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde .
  A  zde je několik řešených příkladů:  funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ;   funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
  Domácí úkol:    dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do  cvičení 20.11. (p06), resp. 21.11. (p03) .
  
  

7. cvičení: 

• 13.11.2023 (p06): Opakování věty o implicitní funci jedné proměnné a úvodní příklady k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně;  další příklady užití této věty  - aproximace funkce jedné proměnné, definované implicitně, Taylorovým polynomem a dále odvození rovnice tečny ke křivce, dané rovnicí F(x,y)=0. Dále připomenutí věty o implicitní funci  více proměnných a příklady užití této věty (pro implicitní funkce dvou proměnných). Pak funkce vektorové, definované implicitně soustavou rovnic (příklady, i řešené, jsou v minulém cvičení)  a úvodní příklady vyšetřování extrémů funkcí dvou proměnných.
• 14.11.2023 (p03): Stejně jako v p06 příklady na užití vět o implicitní funkci jedné i více proměnných, i příklad vektorové funkce, definované implicitně doustavou rovnic. 
  
  Výběr příkladů:  Funkce více proměnných 4 (extrémy funkce)  ( pdf )  (i pro další cvičení) .
  A zde je několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů  extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady
  Domácí úkol: zústává  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do  cvičení 20.11. (p06), resp. 21.11. (p03) .  
  a pokud jste si vybrali a řešili  jen "nutné" dva  příklady z tohoto úkolu, pak můžete dobrovolně řešit i příklady další, nebo "dobrovolně"  zkusit třeba i  dú6 - funkce více proměnných 5   (tento "dobrovolný" úkol bude opět "počítán").
  a dále (z "dnešní látky")  dú7  - funkce více proměnných 6   - stačí odevzdat do  cvičení 27.11. (p06), resp. 28.11. (p03) .
  
  

8. cvičení: 

• 20.11.2023 (p06): Připomenutí věty o implicitní funci  více proměnných a příklady užití této věty (pro implicitní funkce dvou proměnných). Pak funkce vektorové, definované implicitně soustavou rovnic (příklady, i řešené, jsou v minulém cvičení).
  Opakování a shrnutí toho, co "víme" o existenci a hledání globálních extrémů funkce více  proměnných a úvodní příklady vyšetřování globálních i vázaných  extrémů funkce  dvou proměnných.
• 21.11.2023 (p03): Vzhledem k dotazům posluchačů ještě další příklady na užití věty o implicitní funkci více proměnných, dále pak (jako v p06) funkce vektorové, definované implicitně soustavou rovnic. Dále opakování a shrnutí toho, co "víme" o existenci a hledání globálních extrémů funkce více  proměnných.
  
  Výběr příkladů:  Funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  a pro další cvičení Funkce více proměnných 4 (extrémy funkce)  ( pdf ) . 
  A  několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady 
  Domácí úkol:  dú7  - funkce více proměnných 6   - stačí odevzdat do cvičení 27.11. (p06), resp. 28.11. (p03) .
  
  

9. cvičení:

• 27.11.2023 (p06): Poznámky a dotazy k příkladům z domácího úkolu na implicitní funkce. Pak opakování a shrnutí toho, co "víme" o existenci a hledání globálních extrémů funkce více  proměnných a příklady vyšetřování globálních i vázaných  extrémů funkce  dvou proměnných.  
  
• 28.11.2023 (p03): Jako v p06, dotazy k příkladům z domácího úkolu na implicitní funkce, budou-li nějaké. Dále příklady vyšetřování globálních i vázaných  extrémů funkce dvou proměnných. 
   
  Výběr příkladů:  Funkce více proměnných 4  (extrémy funkce). A  několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady 
  Domácí úkol:   dú 8 - extrémy funkce      (protože jsme nestihli procvičit užití věty o Lagrangeových multiplikátorech, stačí úkol odevzdat do (nebo na) cvičení 11.12. (p06), resp. 12.12. (p03) )   
  A  "jako" dú 9, k zápočtu ale povinný:   1."domácí" test  - shrnutí základních poznatků z diferenciálního počtu (funkcí více proměnných) ( bylo by dobré "odevzdat" test "do" nebo "na" cvičení 11.12. (p06), resp. 12.12. (p03)).                   
  

10. cvičení:

• 4.12.2023 (p06): Ještě další příklady vyšetřování globálních extrémů a vázaných  extrémů funkce dvou proměnných užitím věty o Lagrangeových multiplikátorech, zopakování a "promyšlení" této věty.
• 5.12.2023 (p03): Jako v p06 ještě několik příkladů vyšetřování globálních extrémů a vázaných  extrémů funkce dvou proměnných. Připomenutí  definice a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné, pak úvodní úvahy o Riemannově dvojném integrálu.
  Příklady a domácí úkol  jsou v "minulém cvičení".

11. cvičení:

• 11.12.2023 (p06): Poznámky, dle dotazů posluchačů, k řešení "domácího" testu. Dále stručné opakování Riemannova integrálu funkce jedné proměnné,  pak (podle přednášky) připomenutí definice, vlastností dvojného integrálu, příklady užití dvojného integrálu a jednoduché příklady výpočtu dvojného integrálu užitím Fubiniovy věty.
• 12.12.2023 (p03): Jako v p06, poznámky k řešení "domácího testu, zvláště ještě užití věty o implicitní funkci, pak stručné opakování Riemannova integrálu funkce jedné proměnné, připomenutí definice a vlastností dvojného a trojného integrálu, příklady užití dvojného integrálu a jednoduché příklady výpočtu dvojného integrálu užitím Fubiniovy věty. 

Výběr příkladů:   dvojný integrál   a   trojný integrál  i pro další cvičení) 
Domácí úkol: dú10 - dvojný integrál 1  (pokuste se odevzdat do (nebo na) cvičení 18.12. (p06), resp. 19.12. (p03), nebo alespoň do Vánoc)

A  pokud byste si chtěli zopakovat Riemannův integrál funkcí jedné proměnné, můžete se podívat na cvičení z matematické analýzy 1 v LS 2019/20
a zkusit si opakování na jejich domácím úkolu 12:
     Cvičení 12  - MAI 1 ("písemné", místo cvičení 14.5.2020): Určitý integrál Newtonův a Riemannův - výpočet integrálů (užití substituce i integrace per partes)
     vlastnosti určitého integrálu a aplikace.
     Příklady k tomuto cvičení z MAI 1: cvičení 12 - příklady určitý integrál  (pdf)
     A cvičení "písemné" z MAI 1:  "písemné" cvičení 12 - 1.část  a  "písemné" cvičení 12 - 2.část  a  k tomu domácí úkol: Domácí úkol 12. (pdf)  a "moje"  řešení dú 12

 

12. cvičení:

• 18.12.2023 (p06)  i  19.12.2023 (p03):
  1. Poznámky k řešení prvního "domácího" testu, případně řešení některých příkladů z testu (dle přání posluchačů). 
  2. Další příklady výpočtu dvojných a trojných integrálů, zvláště jednoduché příklady užití substituce v dvojném i trojném integrálu integrálu (k poznámkám o substituci z přednášky) -
      souřadnice polární,válcové a sférické.
      příklady ze souboru  trojný integrál  a z  dú12 - substituce ve dvojném a trojném integrálu .
  3. K metrickým prostorům - zopakování vlastností prostorů úplných a  prostorů kompaktních.
  4. A "pro zájemce" - k poznámkám v přednášce o  konvergenci posloupností funkcí  ( konvergence bodová, resp. stejnoměrná. resp. lokálně stejnoměrná na množině) - 
      aspoň několik řešených příkladů vyšetřování konvergence posloupností funkcí - konvergence posloupností funkcí  (pro zájemce) .
  
  Výběr příkladů:  trojný integrál 
  A "navíc" k nahlédnutí - domácí úkoly "pro chemiky PřF" a jejich "komentované řešení": 
       dú 7  (pro chemiky  ( pdf ) - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení   dú 7 - řešení 
       dú 8  (pro chemiky) - trojný integrál  a  řešení   dú 8 - řešení  .
  Domácí úkol:   dú11 - dvojný integrál 2   (stačí odevzdat "do zápočtu")  a    dú12 - substituce ve dvojném a trojném integrálu  (dobrovolný) .
   

13. cvičení:

• 8.1.2024 (p06)  i  9.1.2024 (p03):
  Dle dotazů posluchačů ještě poznámky k řešení domácích úkolů, zvláště k řešení domácího testu.
  Pak ještě "návrat" k metrickým prostorům - zopakování vlastností prostorů úplných a  prostorů kompaktních.
  
  Výběr příkladů:
  "pro zájemce" -  aspoň několik řešených příkladů vyšetřování konvergence posloupností funkcí - konvergence posloupností funkcí  (k poznámkám v přednášce o  konvergenci posloupností funkcí ;

  .