Matematika A1, cvičení - ZS 2023/24

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

"SOS" linka :  mobil 604 268 425

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7. dubna 1348 

 

Matematika A1  -  Sylabus a literatura - SIS

Matematika A1 - cvičení:     paralelka 02  -  pondělí   14:50 - 16:20  v D ,  úterý  10:40 - 12:10   v CH3
                                               paralelka 04  -  úterý  16:30 - 18:00  v G1,  středa 12:20 - 13:50  v CH4

Konzultační hodiny (v semestru): 
         Konzultace mohou být "po dohodě", a to i online (pomocí Google Meet), bude-li třeba. 
         Dále konzultace mohou být každé pondělí před Repetitoriem MA1 po cvičení z MA1 paralelky 02 v posluchárně Dmuchavla (Albertov 6) od 16:20 do 17:10. 

 Repetitorium matematiky A1:  pondělí 17:20 - 18:50 v CH6  (ale může trvat i déle, tak dlouho, jak bude třeba)
         Přednáška z Matematiky A1 je ještě doplněna Repetitoriem MA1. V minulých letech jsme v Repetitoriu MA1 znovu probírali a vysvětlovali z matematiky A1 to, co si posluchači přáli, co jim nebylo jasné z přednášek nebo i ze cvičení.  Děkuji všem, co se na Repetitotium zapsali i letos, je asi užitečné Repetitorium zachovat. Dle vyjádření posluchačů z minulých ročníků bylo Repetitorum MA1 užitečné a pomáhalo jim, byla by to taková "hromadná" konzultace z matematiky A1. Repetitoria MA1 se mohou účastnit i studenti, co nejsou zapsáni, pokud budou potřebovat, a otázky k přednáškám i ke cvičením je možné posílat i předem. 

Konzultační hodiny ve zkouškovém období:
    "Hromadné" konzultace budou vždy v pondělí odpoledne v posluchárně "Malá paleontologie" (Albertov 6) 14:00 - 17:00 (i déle, bude-li třeba), jen v pondělí 8.1. konzultace budou až od 15:30. 
      V rámci těchto hromadných konzultací bude pokračovat i ve zkouškovém období Repetitorium MA1.
      Konzultace ale můžeme mít i jindy "po dohodě".

Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  zde 
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
• J.Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, 2004  zde 
• skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   L.Hermann;  R.Mařík
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 

Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.  
• VUT Brno.

K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
•  J. Petáková: Matematika

Materiály, které dostali studenti na úvodním soustředění v Horním Poříčí v letech 2019/20 a 2020/21:

• Opakovací "test" ze soustředění  zde ;.
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky  zde .
• Stručné materiály k opakování středoškolské matematiky  - od paní doktorky Jany Rubešové zde .
• Dotazníček zde.  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

        1.   limita a spojitost funkce
        2.   průběh funkce - několik řešených příkladů
        3.    neurčitý integrál
        4.    diferenciální rovnice

Záznamy přednášek a cvičení z Matematiky A1 z "covidového" online zimního semestru v akademickém roce 2020/21 ( na Google disku )   - odkaz na Google disk zde 
A "písemné" verze přednášek ze zimního semestru roku 2020/21 lze najít zde.

Příklady ke cvičení, řešení vybraných příkladů, domácí úkoly ze cvičení a jejich řešení najdete též na stránce ke cvičení z MA1 z loňského akademického roku  zde.

A hodně řešených příkladů, i jednoduchých, vhodných i pro  "naši" matematiku, je na stránce ke cvičení z matematické analýzy 1 pro informatiky (MFF) z LS 2019/20, prvního "koronavirového" online semestru, kde jsou "písemná cvičení" i podrobná řešení domácích úkolů:  Cvičení k přednášce Matematická analýza pro informatiky I .  Vhodné materiály přidám též vždy k příslušnému cvičení.

 

Cvičení:

• 2.10. (p02)  a  3.10. (p04): 
  Informace o cvičení a podmínky pro získání zápočtu: 
  
  Podmínky získání zápočtu:
      1.  účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností;
      2.  získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru;
           při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně;
      3.  vypracování osmi povinných domácích úkolů  - 1. a dále úkoly 3. - 9. , druhý ze zadaných domácích úkolů je nepovinný.

  Zadání příkladů, řešení příkladů, zadání a řešení domácích úkolů najdete zde na stránce v "zápisech" jednotlivých cvičení; a příslušné soubory budou též na Disku Google. 

  Cvičení  začíná opakováním středoškolské matematiky, ne všeho, co jste probírali, ale těch partií, které budete potřebovat v matematice A1 - předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky  zde . Vše potřebné k opakování najdete v doporučených skriptech z VŠCHT  -  A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  i v dalších doporučených studijních materiálech  (viz literatura nahoře). 
  A  příklady, které by vám mohly pomoci při "testování" potřebných znalostí ze středoškolské matematiky:
  opakovací test z úvodního soustředění v Horním Poříčí (v letech 2019/20 a 2020/21), a řešení  příkladů z první části opakovacího testu zde a řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z  opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis). 
  Na cvičení jsme opakovali základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy, pak pojem a příklady inverzní funkce k funkci prosté na množině M , řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a abso
  
  Příklady pro opakování středoškolské matematiky:  
  1. jazyk matematiky, množinový počet, množina reálných čísel, absolutní hodnota reálného čísla - příklady: opakování --výběr příkladů 1  ;
  2. funkce, jejich vlastnosti a grafy - přehled elementárních funkcí, dále pojmy funkce monotonní, funkce omezená funkce na množině M, funkce inverzní k dané funkci, funkce složená, extrémy funkce na množině M  - příklady: opakování - výběr příkladů 2
  A "můj" výběr příkladů pro 1.cvičení  a  "moje"   řešení těchto příkladů,  a ještě dodatek  (příklady (*) ;
  "můj" výběr příkladů pro opakování funkcí (z "minulých" ZS )  -  výběr příkladů pro 2. a 3.cvičení  a moje  řešení1.část  a  řešení 2.část   
  Tyto soubory příkladů mohou být inspirací k vaší práci a jako zdroj vašich otázek pro cvičení. Zkuste z každé skupiny příkladů aspoň jeden příklad vyřešit podrobně, na ostatní příklady ve skupině se aspoň podívejte, a promyslete, zda byste je uměli řešit. A můžete si připravit na další cvičení či na konzultaci dotazy k tomu, co vám nebude jasné.
  
  Domácí úkol:    
  dú1 - opakování  a  řešení dú1 
  du2 - analytická geometrie   (nepovinný - k opakování základních pojmů z analytické geometrie)
  dú 1 z opakování středoškolské matematiky můžete odevzdat až vše zopakujeme, ale místo zadaného dú1 můžete též vyřešit opakovací test (jednodušší nebo i ten náročnější)  z úvodního soustředění 1.ročníku chemiků v Horním Poříčí. A můžete si třeba zkusit i    1.domácí zápočtový testík  - opakování středoškolské matematiky.
  
  
• 3.10. (p02) a 4.10. (p04) :
  pokračování v opakování důležitých partií ze středoškolské matematiky (i dle otázek a potřeby posluchačů), hlavně funkcí. Řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a absolutní hodnotou.
  Příklady: z minulého cvičení.   
  A ve cvičení paralelky 04,  které je až po středeční přednášce, jsme už začali uvažovat o limitě funkce - cvičení "zápisu" i "čtení"  limit, limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí. 
  Příklady:  výběr příkladů je  dalším cvičení   limita funkce - úvod 1 a  řešení zde 
  
  
• 9.10. (p02) a 10.10. (p04) :
  Ještě opakování vlastností funkcí, bude-li třeba. Dále úvod k chápání limity funkce - limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí; cvičení "zápisu" i "čtení"  limit; pokusy o grafy funkcí s pomocí limit (intuitivně); limity základních elementárních funkcí ( z "tabuky" známých funkcí); dále opakování "pravidel" pro nalezení limity součtu, součinu a podílu funkcí (aritmetiky limit),  připomenutí toho, co je "neučitý výraz" a výpočet jednoduchých limit.
  Příklady (i pro další cvičení):
   limita funkce - úvod 1 a  řešení zde  ; 
   limita funkce - úvod 2   - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
  
  
• 10.10. (p02) a 11.10. (p04):
   Výpočet  limit - aritmetika limit, zvláště užití věty o limitě složené funkce a  věty o limitě sevřené funkce; vhodné "úpravy" v případech "neurčitých výrazů" .   Spojitost funkce v bodě. 
   Příklady:  
   k výpočtu limit příklady z minulého cvičení a  limita funkce  (větší soubor vhodných příkladů) a zde jsou výsledky těchto příkladů výsledky limit. ;
   cyklometrické funkce  - příklady 
   A navíc (pro zájemce) "příklady" výpočtu limit (s podrobným vysvětlením) ke cvičení z Matematické analýzy pro informatiky1  (z MFF)  a též pro studenty Bioinformatiky (z PřF):
   "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část    a   Domácí úkol 6.  ( pdf )  a  "moje"  řešení  dú 6  .
  
  
• 23.10. (p02) a 24.10. (p04):
  Rozšíření "tabulky" základních funkcí - definice a základní vlastnosti t.zv. funkcí cyklometrických, zváště funkcí arcsin x  a  arctg x , jejich vlastnosti a grafy zde.
  Dále stále ještě výpočet limit užitím aritmetiky limit, limity funkcí složených a i limity funkcí v případě "neurčitých výrazů". Užití limit funkce k "odhadu" grafu funkce.
  Příklady:
  k výpočtu limit příklady z minulých cvičení; cyklometrické funkce  - příklady 
  Domácí úkol: 
  dú3 - limita funkce (pokud možno, odevzdejte nejpozději na cvičení v pondělí 30.10. nebo v úterý 31.10., nebo pošlete emailem.
  A moje řešení dú 3  (můžete užít pro kontrolu nebo i jako "pomoc" při řešení, ale pak to, prosím, u příslušného příkladu poznamenejte).
  
  
• 24.10. (p02) a 25.10. (p04):  
  Stále ještě výpočet limit, zvláště limit složených funkcí a "neurčitých výrazů", užití věty o limitě sevřené funkce i užití některých "důležitých" limit z přednášky; výpočet limit s cyklometrickými funkcemi.
  Připomenutí definice derivace funkce v bodě a  "významu"  derivace funkce v bodě, jednoduché úvodní příklady výpočtu derivace funkce (jako příklady pro výpočet limit).
  Příklady z minulých cvičení.
  
  
• 30.10. (p02) a 31.10. (p04):
  Limity funkcí - shrnutí návodů pro výpočet limit, zvláště výpočet i cvičení "zápisu" limit složených funkcí, ještě i limity s cyklometrickými funkcemi a limity funkce f(x)^g(x)  , stále ještě užití limit funkce k "odhadu" grafu funkce. Možná  i jednoduchý důkaz limity "z definice".
  Stručně limita posloupnosti reálných čísel a užití - důkaz neexistence limity funkce (dle Heinho věty).
  Dále spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu. Příklady z minulých cvičení a dle dotazů posluchačů.
  Jednoduché příklady výpočtu derivace funkce. 
  Příklady: 
  Derivace funkce 1.   a ještě výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení  derivace funkce - řešené příklady . 
  Domácí úkol (povinný): 
  A pokud už "umíte" derivovat, tak už můžete řešit další domácí úkol (o termínu odevzdání se dohodneme podle toho, jak se bude "dařit" cvičení)
  du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace   a zde je "moje"  řešení dú 4  (pomoc při řešení, pokud potřebujete, nebo i pro kontrolu) .
  
  
• 31.10. (p02) a 1.11. (p04):
  p04 - test z limit funkcí
  Výpočet derivace funkce ( i derivací vyšších řádů) - derivace součtu, součinu,podílu, derivace funkcí složených. Aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde má funkce vlastní derivaci.
  Příklady z minulého cvičení.
  
  
• 6.11. (p02) a 7.11. (p04):
  Nejprve ještě limity funkce  - dle dotazů posluchačů, poznámky k řešení domácího úkolu z limit a v p04 poznámky k zápočtovému testu z limit. Stručně limita posloupnosti reálných čísel a užití - důkaz neexistence limity funkce (dle Heinho věty). Pak ještě spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu. Příklady z minulých cvičení.
  Dále výpočet derivace funkce ( i derivací vyšších řádů) - derivace součtu, součinu,podílu, derivace funkcí složených. 
  p02 - test z limit funkcí.
  
  
• 7.11. (p02) a 8.11. (p04):
  Spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu.další příklady výpočtu derivací, i derivací vyšších řádů, zvláště derivací složených funkcí; 
  ještě i aplikace derivace v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; diferenciál a jeho užití; 
  výpočet limit funkce užitím l´Hospitalova pravidla; možná úvodní příklad vyšetřování průběhu funkce.
  Příklady: derivace funkce a užití derivace 2.  ( pdf )  ( i pro několik dalších cvičení) .
  A navíc řešení vybraných příkladů (pro "online" cvičení v předloňském zimním semestru):  L´Hospitalovo pravidlo - řešené příklady   a   řešené příklady - "dopočítávání" derivací ,
  a zde jsou  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí  .
  Domácí úkol 4 (výpočet derivací a ) se snažte odevzdat na cvičeních příští týden, nebo pošlete emailem.
  
  
• 13.11. (p02) a 14.11. (p04):
  Spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu. A též  "dopočítávání" derivace funkce v bodech, kde nelze užít "tabulku derivací"; 
  Dále vyšetřování průběhu funkce.
  Příklady: ještě (z minulého cvičení)  derivace funkce a užití derivace 2.  ( pdf ) .
  Domácí úkol 5 (povinný):   du5 - průběh funkce    (zkuste odevzdat do cvičení 22.11., resp.23.11., nebo aspoň do Vánoc);  a zde je "moje"  řešení dú5 -1.část ( z průběhů funkcí aspoň některé vybrané příklady, a omlouvám se za chybu v "přepisu" řešení na str. 8 v posledním řádku v př.4 dole - má být " f je rostoucí v intervalu (-1,1) " ).
  
  
• 14.11. (p02) a 15.11. (p04):
  Další příklady vyšetřování průběhu funkce. Úvod k integrálnímu počtu - definice primitivní funkce a úvodní příklady výpočtu primitivních funkcí (neboli neurčitých integrálů) 
  Příklady z minulého cvičení a i pro další cvičení - neurčitý integrál 1 
   
  
• 20.11. (p02) a 21.11. (p04):
  Aplikace derivace funkce v bodě: rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde má funkce vlastní derivaci, Taylorův polynom funkce a příklady jeho užití - jen v p02.
  Vyšetřování extrémů funkce na cvičení jsme nedělali, ale zde se můžete sami podívat na několik řešených úloh - extrémy funkcí .
  Dále úvod k integrálnímu počtu - definice primitivní funkce, dále úvodní příklady výpočtu primitivních funkcí (neboli neurčitých integrálů) -  jednoduché příklady výpočtu primitivních funkcí k ujasnění, co je primitivní funkce (neboli neurčitý integrál funkce); procvičení "tabulky" základních integrálů; dále primitivní funkce k násobku funkce a součtu funkcí.
  Příklady (i pro další cvičení):  Výběr příkladů - neurčitý integrál 1  a "tahák" - shrnutí "návodů" k výpočtu neurčitých integrálů:  neurčitý integrál .
  A pro další cvičení   "písemné " cvičení s řešenými příklady   zde   a    výběr řešených příkladů 1  .
  
  
• 21.11. (p02) a 22.11. (p04) - plán:
  Opakování způsobů výpočtu neurčitých integrálů, a jak si vybrat "správnou cestu" k integrálům "známým" a ukázky na řešených příkladech,  kdy lze užít substituci, kdy integraci per partes. Pak výběr příkladů na užití 1.věty o substituci a integrace per partes, jednoduché příklady užití  2.věty o substituci v neurčitém integrálu. 
  Příklady z minulého cvičení.
  
  
• 27.11. (p02) a 28.11. (p04):
  Paralelka 02 - test  -  derivace funkce.
  Výpočet neurčitých integrálů - další příklady užití integrace per partes a substituce, příklady integrace parciálních zlomků. 
  Příklady:   neurčitý integrál 2  (a jsou zde i "nepovinné" pro studenty "pokročilé" v integrování), další soubor řešených příkladů  ( 2VS a integrace racionálních funkcí)  řešené příklady 2 a dále je zde  výběr příkladů , které by mohly býl "cílem" ve výpočtu neurčitých integrálů (příklady "podobné" těm zkouškovým z předloňského ZS) a zde jsou jim "podobné" řešené příklady 3  , a ještě navíc řešené příklady 4 -  několik řešených příkladů z loňského Repetitoria.
  
  
• 28.11. (p02) a 29.11. (p04):
  Paralelka 04 - test  - derivace funkce.
  Výpočet neurčitých integrálů (zvláště dle přání posluchačů), příklady na užití 2.věty o substituci, jednoduché příklady integrace racionální funkce a substitucí, vedoucích na integraci racionální funkce.  
  Příklady: neurčitý integrál - příklady z minulého cvičení;
  Domácí úkol (povinný):  dú6 - neurčitý integrál  ( pdf )   (pokuste se odevzdat do Vánoc) a zde je "moje"  řešení dú6 .
  Navíc si můžete vyzkoušet  Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
  
  
• 4.12. (p02) a 5.12. (p04):
  Ještě výpočet neurčitého integrálu - zvláště procvičení integrace racionální funkce a užití 2. věty o substituci. Dále difereniální rovnice 1.řádu - úvodní příklady řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými. 
  Příklady:   diferenciální rovnice - příklady   a několik řešených příkladů   diferenciální rovnice  - cvičení řešené 1       
  další řešené příklady  diferenciální rovnice - řešené 
  
  
• 5.12. (p02) a 6.12. (p04): 
  Ještě výpočet neurčitých integrálů - souhrný příklad na procvičení všech probraných způsobů výpočtu primitivní funkce a pak diferenciální rovnice 1.řádu - řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými i lineárních, zopakování "návodu" k řešení uvedených typů diferenciálních rovnic a řešení jednoduchých příkladů. (metoda variace konstant a odhad řešení pro speciální pravé strany); 
  Příklady z minulého cvičení.
  Domácí úkol (povinný):  dú7 - diferenciální rovnice    (lze odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú7  .  
  
  
• 11.12. (p02) a 12.12. (p04) :
  Dle dotazů posluchačů ještě příklady výpočtu primitivních funkcí. Pak opakování a shrnutí "návodů" k řešení obyčejných diferenciálních rovnic 1.řádu se separovatelnými proměnnými i lineárních,a příklady řešení ODR separací proměnných.  pokud bude třeba, tak ještě i připomenutí  "návodů" k řešení uvedených typů diferenciálních rovnic. U rovnic lineárních procvičíme metodu variace konstant a odhad řešení pro speciální pravé strany. 
  Příklady ze cvičení 4.12., resp. 5.12. .
  
  
• 12.12. (p02) a 13.12. (p04) - plán:
  Řešení obyčejných lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu, procvičena metoda variace konstant a pak ještě několik příkladů řešení rovnic nelineárních separací proměnných.
  Příklady stále ze cvičení 4.12., resp. 5.12. .
  
  
• 18.12. (p02) a 19.12. (p04):
  Ještě OLDR 1-řádu - nalezení partikulárníh řešení metodou odhadu. Dále příklady výpočtu a aplikací určitého integrálu (Newtonova i Riemannova).
  Příklady:  určitý integrál   a  řešení některých příkladů určitého integrálu - řešené příklady 1  a  řešené příklady 2  (trošku "těžší").
  Domácí úkol (povinný):  dú8 - určitý integrál  (lze odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú8.
  
  
• 19.12. (p02) a 20.12. (p04):
  Ještě příklady výpočtu a aplikací určitého integrálu.
  Dále lineární algebra - zápis soustavy lineárních rovnic pomocí matice, ekvivalentní úpravy matice; Gaussova eliminační metoda řešení soustavy; připomenutí "počítání" se "známými"  vektory z R²  a  R³ a pak zobecnění na vektory z Rⁿ  - sčítání vektorů, násobení konstantou, skalární součin vektorů z Rⁿ  ;  "počítání" s maticemi - součet matic, násobení číslem, násobení matic.
  Příklady:  Příklady výpočtu a aplikací určitého integrálu z minulého cvičení. Lineární algebra -  LA - příklady 1  - větší soubor příkladů z lineární algebry ( LA ), i pro další cvičení.
  Asi se nestihne procvičit vše, tomu , co z LA stihneme procvičit, budou odpovídat i příklady z LA u zkoušky.
  Domácí úkol :  dú9 - lineární algebra  (z úkolu to, co stihneme procvičit, stačí odevzdat  "do zápočtu").
  
  
• 2.1.2024 (p02 i p04) - plán:
  Ještě příklady aplikací určitého integrálu.
  A z lineární algebry - ještě příklady na užití Gaussovy eliminační metody řešení soustav lineárních rovnic, dále "počítání" s vektory a maticemi ( součet matic, násobení číslem, násobení matic), lineární nezávislost, resp, závislost vektorů, hodnost matice, Frobeniova věta (o řešitelnosti soustav lineárních rovnic). 
  Příklady z minulého cvičení.
  Domácí úkol č.9 z lineární algebry bude upřesněn.
  Paralelka 04 - na bude na začátlu cvičení (16:30 - 17:30.) bude dle přání studentů zápočtový test č.3 , cvičení pak bude do 19:00.   
  
  
• 3.1.2024 (p04) - plán:
  Z lineární algebry - další příklady na vyšetřování vlastostí matic a řešení soustav lineárních rovnic; dále (dle přednášky) možná i pojmy matice regulární, resp. singulární a výpočet inverzní matice k matici regulární a řešení soustavy lineárních rovnic užitím inverzní matice. 
  
  

A na závěr semestru:

Podmínky získání zápočtu - upřesnění:
    1.  Účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností.
    2.  Získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru;
         při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně.
    3.  Vypracování osmi povinných domácích úkolů  - 1. a dále úkoly 3. - 8. , druhý ze zadaných domácích úkolů je nepovinný, také dobrovolný je i úkol 9.
          z lineární algebry.
         

Konzultační hodiny ve zkouškovém období:
    "Hromadné" konzultace budou vždy v pondělí 14:00 - 17:00 (i déle, bude-li třeba) v "Malé paleontologii" (Albertov 6), jen v pondělí 8.1. konzultace budou později, až od 15:30. 
      V rámci těchto hromadných konzultací bude pokračovat i ve zkouškovém období Repetitorium MA1.
      Konzultace ale můžeme mít i jindy "po dohodě".