Matematika A1, cvičení - ZS 2024/25
Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209
Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
"SOS" linka : mobil 604 268 425
Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7. dubna 1348
Matematika A1 - Sylabus a literatura - SIS
Matematika A1 - cvičení: paralelka 02 - pondělí 14:50 - 16:20 v D , středa 12:20 - 13:50 v CH4
paralelka 05 - úterý 14:50 - 16:20 v D, středa 9:00 - 10:30 v CH4
Repetitorium matematiky A1: pondělí 17:20 - 18:50 v CH6 (ale může trvat i déle, tak dlouho, jak bude třeba)
Přednáška z Matematiky A1 je ještě doplněna Repetitoriem MA1. V minulých letech jsme v Repetitoriu MA1 znovu probírali a vysvětlovali z matematiky A1 to, co si posluchači přáli, co jim nebylo jasné z přednášek nebo i ze cvičení. Děkuji všem, co se na Repetitotium zapsali i letos, je asi užitečné Repetitorium zachovat. Dle vyjádření posluchačů z minulých ročníků bylo Repetitorum MA1 užitečné a pomáhalo jim, byla by to taková "hromadná" konzultace z matematiky A1. Repetitoria MA1 se mohou účastnit i studenti, co nejsou zapsáni, pokud budou potřebovat, a otázky k přednáškám i ke cvičením je možné posílat i předem.
Konzultační hodiny (během semestru):
Konzultační hodiny si dohodneme v prvním týdnu výuky.
Zatím můj návrh - pro paralelku 02: pondělí 16:20 - 17:10 po cvičení z MA1 před Repetitoriem MA1,
pro paralelku 05: úterý 16:20 - 17:10 po cvičení z MA1
Konzultace mohou být i "po dohodě" (osobně, emailem, telefonem) , konzultace mohou být i online (pomocí Google Meet), bude-li třeba.
Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:
- A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT zde
- D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
- V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
- J. Veselý: Základy matematické analýzy I zde
- J.Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, 2004 zde
- skripta k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
- Texty z VŠB-TUO
- Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý; L.Hermann; R.Mařík
- Petr Olšák: Lineární algebra zde
Příklady můžete čerpat také zde:
- N.Krylová, M.Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky.
- VŠCHT - Mgr.L.Heřmánek a kol.: Sbírka příkladů z matematiky I
- Sbírka KAM MFF UK .
- ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
- ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
- EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
- Sbírka VŠB Ostrava.
- VUT Brno.
K opakování středoškolské matematiky:
- J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
- Z. Vošický: Matematika v kostce
J. Petáková: Matematika
Materiály, které dostali studenti na úvodním soustředění v Horním Poříčí v letech 2019/20, 2020/21 a i letos:
- Opakovací "test" ze soustředění zde ;.
- Řešení příkladů z opakovacího testu zde .
- Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
- Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde .
- Stručné materiály k opakování středoškolské matematiky - od paní doktorky Jany Rubešové zde .
- Dotazníček zde.
A třeba mohou při studiu pomoci
- záznamy přednášek a cvičení z Matematiky A1 z "covidového" online zimního semestru v akademickém roce 2020/21 ( na Google disku ) - odkaz na Google disk zde
- "písemné" verze přednášek ze zimního semestru roku 2020/21 zde.
- příklady ke cvičení, řešení vybraných příkladů, domácí úkoly ze cvičení a jejich řešení, vše najdete na stránce ke cvičení z MA1 z loňského akademického roku zde.
A hodně řešených příkladů, i jednoduchých, vhodných i pro "naši" matematiku, je na stránce ke cvičení z matematické analýzy 1 pro informatiky (MFF) z LS 2019/20, prvního "koronavirového" online semestru, kde jsou "písemná cvičení" i podrobná řešení domácích úkolů: Cvičení k přednášce Matematická analýza pro informatiky I .
Vhodné materiály přidám též vždy k příslušnému cvičení.
Podmínky získání zápočtu (upřesníme na prvních cvičeních):
1. účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností;
2. získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru;
při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně;
3. vypracování osmi povinných domácích úkolů - 1. a dále úkoly 3. - 9. , druhý ze zadaných domácích úkolů je nepovinný.
Cvičení:
- 30.9. (p02) a 1.10. (p05):
Nejprve informace o průběhu cvičení a upřesnění podmínek pro získání zápočtu.
Dále - opakování středoškolské matematiky, ne všeho, co se probíralo, ale těch partií, na které bude navazovaty matematika A1 - předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde .
Vše potřebné k opakování najdete v doporučených skriptech z VŠCHT - A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT i v dalších doporučených studijních materiálech (viz literatura nahoře).
Na prvním cvičení opakování základních vlastností množiny reálných čísel a jejích podmnožin, základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy, pojem a příklady inverzní funkce k funkci prosté na množině M , řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a absolutní hodnotou. Při řešení příkladů budeme si i připomínat základní pravidla matematické logiky a výrokového počtu a množinového počtu.
Příklady pro opakování středoškolské matematiky:
1. jazyk matematiky, množinový počet, množina reálných čísel, absolutní hodnota reálného čísla - příklady: opakování --výběr příkladů 1 ;
2. funkce, jejich vlastnosti a grafy - přehled elementárních funkcí, dále pojmy funkce monotonní, funkce omezená funkce na množině M, funkce inverzní k dané funkci, funkce složená,
extrémy funkce na množině M - příklady: opakování - výběr příkladů 2
3. A "můj" výběr příkladů pro 1.cvičení a "moje" řešení těchto příkladů, a ještě dodatek (příklady (*)) ;
"můj" výběr příkladů pro opakování funkcí (z "minulých" ZS ) - výběr příkladů pro 2. a 3.cvičení a "moje" řešení1.část a řešení 2.část
Tyto soubory příkladů mohou být inspirací k vaší práci a jako zdroj vašich otázek pro cvičení. Zkuste z každé skupiny příkladů aspoň jeden příklad vyřešit podrobně, na ostatní
příklady ve skupině se aspoň podívejte, a promyslete, zda byste je uměli řešit. A můžete si připravit na další cvičení či na konzultaci dotazy k tomu, co vám nebude jasné.
4. A příklady, které by vám mohly pomoci při "testování" potřebných znalostí ze středoškolské matematiky:
opakovací test z úvodního soustředění v Horním Poříčí (v letech 2019/20 a 2020/21), a řešení příkladů z první části opakovacího testu zde
a řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis).
Domácí úkol:
dú1 - opakování a řešení dú1
du2 - analytická geometrie (nepovinný - k opakování základních pojmů z analytické geometrie)
dú 1 z opakování středoškolské matematiky můžete odevzdat až vše zopakujeme, ale místo zadaného dú1 můžete též vyřešit opakovací test (jednodušší nebo i ten náročnější) z úvodního soustředění 1.ročníku chemiků v Horním Poříčí.
A můžete si třeba zkusit i 1.domácí zápočtový testík - opakování středoškolské matematiky. - 2.10. (p02 i p05):
Cvičení bylo jen online, (v Google Meet) (tak, jak je v rozvrhu), neboť byla zrušena v budově Hlavova 8 výuka vzhledem k tomu, že byla přeručena dodávka vody.
Pokračovali jsme v opakování potřebných znalostí ze středoškolské matematiky, i dle dotazů posluchačů.
Pokud se ale tohoto online cvičení zúčastnit nemohli, tak si můžete udělat své cvičení "domácí" tak, že si promyslíte a zkusíte řešit příklady z dále zde uvedených připravených souborů příkladů, jejich tam uvedené a podrobně vyložené řešení pak můžete použít jako pomoc, budete-li to potřebovat. Příklady jsou ještě k opakování těch důležitých partií ze středoškolské matematiky a další soubory příkladů jsou k úvodu k limitám.
Příklady:
Ještě pro opakování:
1. výběr příkladů pro 1.cvičení a "moje" řešení těchto příkladů, a ještě dodatek (příklady (*)).
2. výběr příkladů pro 2. a 3.cvičení a "moje" řešení1.část a řešení 2.část
A pro paralelku 02 (cvičení má až po přednášce) ale i pro paralelku 05 pro přípravu na další cvičení:
Úvod k chápání limity funkce - limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí; cvičení "zápisu" i "čtení" limit; pokusy o grafy funkcí s pomocí limit (intuitivně); limity základních elementárních funkcí ( z "tabuky" základních funkcí); dále opakování "pravidel" pro nalezení limity součtu, součinu a podílu funkcí (aritmetiky limit), připomenutí toho, co je "neučitý výraz" a výpočet jednoduchých limit.
limita funkce - úvod 1 a řešení zde ;
limita funkce - úvod 2 - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
Řešené příklady limit jsou i v "písemné" přednášce z covidového roku 2000/21 - zápis přednášky zde
A navíc (pro zájemce) - "příklady" výpočtu limit (s podrobným vysvětlením řešení ke cvičení z Matematické analýzy pro informatiky1 (MFF) a pro studenty Bioinformatiky (z PřF):
"písemné" cvičení 6. a "písemné" cvičení 6 - 2.část a Domácí úkol 6. ( pdf ) a "moje" řešení dú 6 . - 7.10. (p02) a 8.10 (p05):
Ještě pokračování v opakování důležitých partií ze středoškolské matematiky (i dle otázek a potřeby posluchačů), hlavně funkcí. Dále řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a absolutní
hodnotou.
Dále úvod k chápání limity funkce - limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí; cvičení "zápisu" i "čtení" limit; pokusy o grafy funkcí s pomocí limit (intuitivně); limity základních elementárních funkcí ( z "tabuky" známých funkcí).
Příklady (z minulého cvičení pro p02 a i pro další cvičení):
limita funkce - úvod 1 a řešení zde ;
limita funkce - úvod 2 - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
- 9.10. :
Podle přání a potřeb studentů ještě opakování středoškolské matematiky - výroky, výrokové formy a jejich zápis užitím kvantifikárorů, trošku o množinách, ještě (dle přání studentů) i funkce.
Dále
p05: Ještě limita funkce intuitivně, pokusy s "popisem" grafu funkce pomocí spojitosti funkce a limit; a obráceně, "cesta" ke grafu funkce pomocí toho, že známe limity funkce v krajních bodech intervalů z definičního oboru a spojitost funkce.
p02: Též ještě cvičení intuitivního chápaní limit; dále úvodní jednoduché příklady výpočtu limit - opakování "pravidel" pro nalezení limity součtu, součinu a podílu funkcí (aritmetiky limit), neučité výrazy . Spojitost funkce v bodě.
Příklady: z minulého cvičení
limita funkce - úvod 1 a řešení zde ;
limita funkce - úvod 2 - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
a navíc limita funkce (větší soubor vhodných příkladů) a zde jsou výsledky těchto příkladů výsledky limit. .
A pro zájemce (bylo už uvedeno ve cvičení 2.10.):
Řešené příklady limit jsou i v "písemné" přednášce z covidového roku 2000/21 - zápis přednášky zde
A navíc (pro zájemce) - "příklady" výpočtu limit (s podrobným vysvětlením řešení ke cvičení z Matematické analýzy pro informatiky1 (z MFF) a též pro studenty Bioinformatiky (z PřF):
"písemné" cvičení 6. a "písemné" cvičení 6 - 2.část a Domácí úkol 6. ( pdf ) a "moje" řešení dú 6 .. - 14.10. (p02) :
Zopakování definic jednotlivých "typů" limit - jednoduché příklady toho, jak intuitivní chápání limity pomocí grafu uvažované funkce "přeložíme" do "přesné" definice limity, a jak užitím definice se limita "dokáže". A zatím jednodušší příklady výpočtu limit - užítím aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě sevřené funkce; vhodné "úpravy" v případech "neurčitých výrazů" .
Příklady: Příklady výpočtu limit jsou uvedeny v minulém cvičení 9.10. .
cyklometrické funkce - příklady
Domácí úkol:
dú3 - limita funkce (odevzat úkol můžete do 23.10., buď na cvičení nebo poslat emailem v pdf ).
A moje řešení dú 3 (můžete užít pro kontrolu nebo i jako "pomoc" při řešení, ale pak to, prosím, u příslušného příkladu poznamenejte). - 15.10. (p05) se cvičení paralelky 05 nekonalo vzhledem k imatrikulaci.
- 16.10.
(p05): Shrnutí "návodů" k výpočtu limit a zatím jednodušší příklady výpočtu limit - užítím aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě sevřené funkce; vhodné "úpravy" v případech "neurčitých výrazů" .
(p02): Stále ještě výpočet limit, zvláště limit složených funkcí a "neurčitých výrazů", užití věty o limitě sevřené funkce i užití některých "důležitých" limit z přednášky. výpočet limit s cyklometrickými funkcemi.
Příklady: Příklady výpočtu limit z minulého cvičení 9.10. .
Domácí úkol:
dú3 - limita funkce (odevzat úkol můžete do 23.10., buď na cvičení nebo poslat emailem v pdf ).
A moje řešení dú 3 (můžete užít pro kontrolu nebo i jako "pomoc" při řešení, ale pak to, prosím, u příslušného příkladu poznamenejte). - 21.10. (p02) a 22.10. (p05):
Příklady výpočtu limit, zvláště limit složených funkcí a "neurčitých výrazů", užití věty o limitě sevřené funkce i užití některých "důležitých" limit z přednášky; výpočet limit s cyklometrickými funkcemi a limity funkcí f(x)g(x) .
Úvodní úvahy o limitě posloupnosti a jednoduché příklady užití Heineho věty k důkazu neexistence limity funkce.
Příklady výpočtu limit z minulých cvičení a cyklometrické funkce - příklady - 23.10. (p02) a (p05):
Rozšíření "tabulky" základních funkcí - definice a základní vlastnosti t.zv. funkcí cyklometrických, zváště funkcí arcsin x a arctan x , jejich vlastnosti a grafy zde.(p05)
Pak ještě další příklady výpočtu limit, zvláště limit složených funkcí a "neurčitých výrazů", užití věty o limitě sevřené funkce i užití některých "důležitých" limit z přednášky; výpočet limit s cyklometrickými funkcemi a limity funkcí f(x)g(x) .
p05 - navíc opakování definice funkce v bodě a jednoduchý příklad výpočtu derivace funkce .
Příklady výpočtu limit z minulých cvičení a cyklometrické funkce - příklady - 28.10. (p05) - cvičení se nekoná vzhledem ke státnímu svátku.
- 29.10. (p02) - plán:
Definice funkcí arccos(x) a arccotg(x), vyšetření jejich vlastností. Pak ještě další příklady výpočtu limit, zvláště limit složených funkcí a "neurčitých výrazů", užití věty o limitě sevřené funkce i užití některých "důležitých" limit z přednášky; výpočet limit s cyklometrickými funkcemi a limity funkcí f(x)g(x) . Připomenutí definice posloupnosti, jednoduché příklady výpočtu limity posloupnosti a užití Heineho věty k důkazu neexistence limity funkce. připomenutí definice derivace funkce v bodě a odvození "vzorce" pro výpočet derivace jako příklad výpočtu limity.
Příklady z minulých cvičení. - 30.10. (p02) a (p05):
Stále ještě limity funkcí - shrnutí návodů pro výpočet limit, zvláště výpočet i cvičení "zápisu" limit složených funkcí, ještě i limity s cyklometrickými funkcemi a limity funkce f(x)g(x) , stále ještě užití limit funkce k "odhadu" grafu funkce. Možná i jednoduchý důkaz limity "z definice".
Stručně limita posloupnosti reálných čísel a užití - důkaz neexistence limity funkce (dle Heinho věty). Dále spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu. Ještě znovu připomenutí definice derivace v bodě, jednoduché příklady užití definice derivace k výpočtu derivace.
(p05) navíc: výpočet derivace funkce (dle toho, co bude na přednášce).
Příklady:
Příklady výpočtu limit z minulých cvičení;
Derivace funkce 1. a ještě výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení derivace funkce - řešené příklady .
Domácí úkol:
du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace a zde je "moje" řešení dú 4 (pomoc při řešení, pokud potřebujete, nebo i pro kontrolu) .
A pokud už "umíte" derivovat, tak už můžete řešit tento domácí úkol (o termínu odevzdání se dohodneme podle toho, jak se bude "dařit" cvičení) - 4.11. (p02):
Ještě výpočet limit, zvláště v případě "neurčitých výrazů", limity funkce f(x)g(x) , jednoduchý důkaz limity "z definice", užití limit funkce k "odhadu" grafu funkce, asymptoty grafu. Stručně limita posloupnosti reálných čísel a užití - důkaz neexistence limity funkce (dle Heinho věty).
Dále výpočet derivace funkce ( i derivací vyšších řádů) - derivace součtu, součinu,podílu, derivace funkcí složených.
Test z limit funkcí (po cvičení v posluchárně Dmuchavka)
5.11. (p05):
Ještě výpočet limit, zvláště v případě "neurčitých výrazů", limity funkce f(x)g(x) , a dle dotazů posluchačů. Výpočet derivace funkce ( i derivací vyšších řádů) - derivace součtu, součinu,podílu, derivace funkcí složených.
Příklady z minulého cvičení.
Domácí úkol (zadán už v minulém cvičení, zatím bez termínu odevzdání)
du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace a zde je "moje" řešení dú 4 (pomoc při řešení, pokud potřebujete, nebo i pro kontrolu). - 6.11. (p02) a (p05):
Ještě několik příkladů výpočtů limit. Spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu. Příklady výpočtu derivací, zvláště derivací složených funkcí.
P05 - zápočtový test z limit od 8:10 v CH4 !
Příklady z minulých cvičení. - 11.11. (p02) a 12.11. (p05):
Další příklady výpočtu derivací, i derivací vyšších řádů; pak hlavně aplikace derivace v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce a lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; diferenciál a jeho užití; Taylorův polynom funkce a příklady jeho užití, odhad chyby u lineární aproximace funkce i při užití Taylorava polynomu. výpočet limit funkce užitím l´Hospitalova pravidla.
Příklady:
z minulých cvičení a dále derivace funkce a užití derivace 2. ( i pro několik dalších cvičení) .
A navíc řešení vybraných příkladů (pro "online" cvičení v "době covidu"): L´Hospitalovo pravidlo - řešené příklady a řešené příklady - "dopočítávání" derivací .
Domácí úkol (zadán už ve cvičení 4.11 a 5.11., bude dobré úkol odevzdat do cvičení 20.11.)
du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace a zde je "moje" řešení dú 4 (pomoc při řešení, pokud potřebujete, nebo i pro kontrolu). - 13.11. (p05) a (p02):
Ještě opakování a další příklady aplikace derivace v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce a lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; diferenciál a jeho užití; Taylorův polynom funkce a příklady jeho užití. Shrnutí (dle přednášky) užití derivace k vyšetření monotonie funkce a extrémů funkce, a užití derivace druhého řádu k vyšetření, "kde" je funkce konvexní, resp konkávní a k nalezení inflexních bodů. Úvodní příklad vyšetření "průběhu funkce".
Příklady:
(už v minulém cvičení) derivace funkce a užití derivace 2 ( i pro další cvičení) .
A navíc řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí . - 18.11. (p02) a 19.11. (p05):
Ještě k limitám funkcí - poznámky k řešení zápočtového testu a dle dotazů posluchačů možná ještě výpočet limit, dále jednoduchý důkaz limity "z definice". Spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována. Dále příklady výpočtu limit funkce užitím l´Hospitalova pravidla a též "dopočítávání" derivace funkce v bodech, kde nelze užít "tabulku derivací".
Další příklady vyšetření průběhu funkce. Jednoduché příklady vyšetření extrémů funkce.
Příklady: z minulého cvičení. - 20.11. (p05) a (p02):
Dle dotazů posluchačů výpočet derivací funkce a limit užitím l´Hospitalova pravidla. Další příklady vyšetření průběhu funkce. V p02 opakování definice primitivní funkce a jednoduché příklady výpočtu primitivní funkce.
Příklady:
příklady vyšetřování průběhu funkce a vyšetřování extrémů jsou ve cvičení 13.11.;
vyšetřování extrémů funkce - zde je řešených úloh - extrémy funkcí ;
Domácí úkol:
du5 - průběh funkce (zkuste odevzdat do cvičení 4.12., nebo aspoň do Vánoc); a zde je "moje" řešení dú5 -1.část ( z průběhů funkcí aspoň některé vybrané příklady,
a omlouvám se za chybu v "přepisu" řešení na str. 8 v posledním řádku v př.4 dole - má být " f je rostoucí v intervalu (-1,1) " ).
Navíc:
Pro posluchače z paralelky 02 i 05 - první termín zápočtového testu z derivací je ve středu 20.11. od 8:10 v CH4 . - 25.11. (p02) a 26.11. (p05):
Dle dotazů posluchačů ještě výpočet derivací funkce a limit užitím l´Hospitalova pravidla, "dopočítávání" derivací funkce v bodech, kde nemůžeme užít tabulku derivací a další příklady vyšetření průběhu funkce.
Pak hlavně opakování definice primitivní funkce a úvodní příklady výpočtu primitivních funkcí (neboli neurčitých integrálů) - jednoduché příklady výpočtu primitivních funkcí k ujasnění, co je primitivní funkce (neboli neurčitý integrál funkce); procvičení "tabulky" základních integrálů; dále primitivní funkce k násobku funkce a součtu funkcí.
Příklady:
Příklady vyšetřování průběhu funkce a vyšetřování extrémů jsou ve cvičení 13.11.; vyšetřování extrémů funkce - zde je (pro zájemce) několik řešených úloh - extrémy funkcí .
A i pro další cvičení: Výběr příkladů - neurčitý integrál 1 a "tahák" - shrnutí "návodů" k výpočtu neurčitých integrálů: neurčitý integrál ,
a dále "písemné " cvičení s řešenými příklady zde a výběr řešených příkladů 1 . - 27.11. (p05) a (p02):
Opakování způsobů výpočtu neurčitých integrálů, a jak si vybrat "správnou cestu" k integrálům "známým" a ukázky na řešených příkladech, kdy lze užít substituci, kdy integraci per partes. Pak příklady užití integrace "per patres" a jednoduché úvodní příklady užití vět o substituci.
Příklady:
Z minulého cvičení: neurčitý integrál 1 a "tahák" - shrnutí "návodů" k výpočtu neurčitých integrálů: neurčitý integrál ,
a dále "písemné " cvičení s řešenými příklady zde a výběr řešených příkladů 1 .
Navíc:
Pro posluchače z paralelky 02 i 05 - další termín zápočtového testu z derivací je ve středu 27.11. od 8:10 v CH4 . - 2.12. (p02) a 3.12. (p05) - plán:
Poznámky k řešení 2. zápočtového testu z derivací. Dále pak výpočet neurčitých integrálů - další příklady užití integrace per partes a 1.věty o substituci, jednoduché příklady užití 2.věty o substituci. Snad už i příklady integrace parciálních zlomků a jednoduché příklady integrace racionální funkce.
Příklady:
Z minulého cvičení a dále
neurčitý integrál 2 (a jsou zde i "nepovinné" pro studenty "pokročilé" v integrování), další soubor řešených příkladů ( 2VS a integrace racionálních funkcí) řešené příklady 2
a dále je zde výběr příkladů , které by mohly býl "cílem" ve výpočtu neurčitých integrálů (příklady "podobné" těm zkouškovým)
zde jsou jim "podobné" řešené příklady 3 , a ještě navíc řešené příklady 4 - několik řešených příkladů z loňského Repetitoria. - 4.12. (p05) a (p02) - plán:
Výpočet neurčitých integrálů (zvláště dle přání posluchačů), příklady na užití 2.věty o substituci, jednoduché příklady integrace racionální funkce a substitucí, vedoucích na integraci racionální funkce.
A možná (dle přání posluchačů) - úvodní příklady řešení diferenciálních rovnic 1.řádu se separovatelnými proměnnými.
Příklady:
Neurčitý integrál - příklady z minulého cvičení;
a i pro další cvičení diferenciální rovnice - příklady a několik řešených příkladů diferenciální rovnice - cvičení řešené 1 a další řešené příklady diferenciální rovnice - řešené .
Domácí úkol (povinný):
dú6 - neurčitý integrál (pokuste se odevzdat do Vánoc) a zde je "moje" řešení dú6 .
Navíc si můžete vyzkoušet Domácí test integrace ( a s výsledky ) .